Ligne symétrique

colorer toute une ligne droite de sa couleur. Ressort : Le ressort avait pour effet de bloquer toutes les cases où l’on se poser d’un coup. [Au lieu de repasser plusieurs fois dessus, ça le faisait directement]. Harlequin : Il transformait toutes les cases de l’adversaire en ta couleur ! Marteau Piqueur : Une fois l’effet activé, vous pouviez effacer toutes les traces de l’adversaire, toutes ses cases lorsque vous marchiez dessus ! Canon : Le canon vous propulsez en ligne droite (comme un

matrice par un scalaire ✓ La multiplication de matrices Définitio n: Une matrice de format est un tableau rectangulaire ordonné de éléments disposés sur lignes et colonnes. rfois, on spécifie la taille de la matrice ici 3 Définitio Une matrice ligne est une matrice de forma n: Exempl e: Définitio Une matrice colonne est une matrice de n: format . Exempl e: 4 Définitio Une matrice nulle est une matrice dont n: toutes les entrées sont nulles. Exempl e: 5 Définitio Une matrice carrée est

Groupes symétriques et alternés Table des matières 1 Groupe Sn 2 Cycles 2.1 2.2 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Décomposition d'une permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 4 5 3 Classes de conjugaison 4 Signature 5 Groupe alterné 5.1 5.2 8 9 10 Groupe An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Classes de conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 6 Simplicité

à α ? Remarque : on demande de ne pas utiliser le résultat de la question 4. III. THÉORÈMES d’APOLLONIUS On rappelle que si B = (a1 , a 2 , ..., a n ) est une base de E et si f est une forme bilinéaire symétrique sur E × E , la matrice de f dans la base B est la matrice symétrique S de M n ( ) définie par : S = ( f (ai , a j ) ) . Par ailleurs, si x et y sont deux vecteurs de E où X et Y sont les matrices de M n ,1 ( f ( x, y ) = t X S Y . ) représentant leurs composantes dans la base

Principe de déchiffrement avec la table : On regarde pour chaque lettre de la clé répétée, la ligne correspondante sur laquelle on cherche la lettre chiffrée. Le nom de la colonne donne la lettre déchiffrée. Exemple : Texte chiffré : FNSFP IUE KGYMCW Clé répétée : CLECL ECL ECLECL La première lettre vaut : Ligne C, on cherche F: on trouve la colonne D. Texte en clair : DCODE EST GENIAL Test de Kasiski : * LONGUEUR DE LA CLE Dans l'exemple ci-dessus, le mot "thé" est chiffré "DPP"

l'élément de la matrice situé sur la ligne i et la colonne j. Les scalaires ai,j sont appelés coefcients de la matrice A. L'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes, à coefcients dans R, est noté Mn,p (R) ou Mn,p . Exemples La matrice suivante est une une matrice de 2 lignes et 3 colonnes : a1,1 a2,1 a1,2 a2,2 a1,3 a Matrices 2012 - 2013 4/9 Matrice Matrices particulières : 1 Lorsque n = 1, A = a1,1 a1,2 · · · a1,p est une matrice-ligne. On note M1,p l'ensemble des matrices-lignes

\mathbb{R} l'équation suivante : x^4 - 3x^2 - 4 = 0 indication : on pourra poser X = x^2 exercice 3 Résoudre dans \mathbb{R} l'équation suivante : x - 5\sqrt{x} - 36 = 0 indication : on pourra poser X = \sqrt{x} Exercice 4 On appelle polynôme symétrique un polynôme dont les coefficients peuvent se lire indifféremment dans un sens comme dans l'autre. exemple : f (x) = x4 - 5x3 + 6x² - 5x + 1 Le but de l'exercice est de résoudre l'équation (E) : x^4 - 5x^3 + 6x^2 - 5x + 1 = 0, pour tout x appartenant

1 Définition : (Matrice symétrique définie positive) Une matrice symétrique est dite définie positive si toutes ses valeurs propres sont strictement positives. Exemples : (1) La matrice identité est une matrice symétrique définie positive. (2) Une matrice diagonale est une matrice symétrique définie positive si tous ses éléments diagonaux sont strictement positifs. 1 2 n’est pas définie positive. (3) La matrice symétrique 2 1 2 1 (4) La matrice symétrique est définie positive. 1 1 1 1 1

puisqu’elle contient 3 lignes et 4 colonnes 2) a14 est le nombre figurant à l’intersection de la 1ère ligne et de la 4ème colonne, donc a14 = 4 a23 est le nombre figurant à l’intersection de la 2ère ligne et de la 3ème colonne, donc a23 = 3 a33 est le nombre figurant à l’intersection de la 3ème ligne et de la 3ème colonne, donc a33 = 0,1 a32 est le nombre figurant à l’intersection de la 3ème ligne et de la 2ème colonne, donc a32 = 17 3) La matrice transposée At de A s’obtient en intervertissant

Sur l’algorithme RSA Le RSA a ´t´ invent´ par Rivest, Shamir et Adleman en 1978. C’est l’exemple ee e le plus courant de cryptographie asym´trique, toujours consid´r´ comme sˆr, e ee u avec la technologie actuelle, pour des cl´s suffisament grosses (1024, 2048 voire e 4096 bits). D’ailleurs le RSA128 (algorithme avec des cl´s de 128 bits), propos´ e e en 1978 par Rivest, Shamir et Adleman, n’a ´t´ “cass´” qu’en 1996, en faisant ee e travailler en parall`le de nombreux ordinateurs sur internet. e