Les Fondements de l'arithmétique

nous apprenons par elles que la place de Thalès cède sous ses pas comme une sape. Oui, la géométrie porte justement le nom de sa mère la terre sur laquelle ce qui tombe du ciel se mesure. Jalonnée à l'aide du gnomon, elle demeure à l'ombre comme un fondement, comme une fondation creusée sous la science; ci repose la momie, en des entrailles noires où se fiche le piquet d'où monte le savoir. L'énoncé géométrique se développe dans le temps, nouveau, moderne, du savoir scientifique; l'énoncé astronomique

images mentales 3-FORMALISATION comprendre et apprendre les formules & les méthodologies d’analyse. Monique Le Guen CNRS-CES-MATISSE - CLUB SAS Graphiques 15 Mai 2008 38 Références - Sites • • • • • • • • • Dehaene S. (2008) «Fondements cognitifs de l’arithmétique élémentaire http://www.college-de-france.fr/default/EN/all/psy_cog/index.htm OCDE (2007), Comprendre le cerveau : naissance d’une science de l’apprentissage. Graphiques Historiques Gallery Michael Friendly http://www.math.yorku.ca/SCS/Gallery/noframes

être que fort douteux et incertain ; et dès lors j’ai bien jugé qu’il me falloit entreprendre sérieusement une fois en ma vie de me défaire de toutes les opinions que j’avois reçues auparavant en ma créance, et commencer tout de nouveau dès les fondements, si je voulois établir quelque chose de ferme et de constant dans les sciences. Mais cette entreprise me semblant être fort grande, j’ai attendu que j’eusse atteint un âge qui fût si mûr que je n’en pusse espérer d’autre après lui auquel je fusse

science n’étaient désormais plus des vérités. La vérité d’un théorème cessait d’être absolue. L’apparition de ces nouvelles géométries et algèbres provoqua chez les mathématiciens un tel bouleversement qu’ils commencèrent à s’interroger sur les fondements logiques de leurs créations. Pendant la seconde moitié du XIXe siècle on essaya d’établir la structure logique des mathématiques qui restait jusque là inexistante et on chercha à en reconstruire les parties défectueuses. En 1900, alors même que

connaissons dons bien des vérités du monde a priori : ce sont celles que nous y avons mises. Dans le cas des deux formes a priori de la sensibilité, Kant pense avoir trouvé l’explication de l’applicabilité et de l’universalité et de la géométrie et de l’arithmétique (puis, des mathématiques). L’espace, que décrit avant toute expérience la géométrie d’Euclide et à laquelle se conforme le monde est celui de notre sens externe; les nombres, qui sont la traduction de notre intuition de la succession temporelle

d’objets de la raison humaine : les relations d’idées et les faits. Aux relations d’idées correspondent les affirmations « qui sont intuitivement ou démonstrativement certaines » et elles renvoient aux sciences de la géométrie , de l’algèbre et de l’arithmétique. Ce qui caractérise ces affirmations c’est « qu’on peut les découvrir par la seule opération de la pensée sans dépendre de rien de ce qui existe dans l’univers ». Le Traité signalait qu’elles renvoyaient aux quatre relations philosophiques qui

hypothèse fut rapidement mise de côté. Une seconde hypothèse est proposée par Aristote, selon lui, l’élection est aristocratique ou oligarchique alors que le tirage au sort est démocratique. L’égalité est importante. Il y a deux types d’égalité : l’arithmétique avec l’égalité des chance, ou la géométrique avec l’égalité proportionnelle à la valeur de la personne. Il se demande comment on peut combiner les deux. Enfin, la dernière explication est celle du principe de la rotation des charges. Le tirage

a priori. Cogito, ergo sum (Je pense, donc je suis) : une formule latine forgée par Descartes. Elle exprime l’unique certitude qui résiste à un doute méthodique. Cherchant à refonder entièrement la connaissance, Descartes souhaite lui trouver un fondement solide, absolument certain. Cette recherche l'amène à la conclusion que seule sa propre existence, en tant que « chose qui pense », est certaine. C’est cette découverte qu’exprime le « cogito ». Introspection : le processus par lequel quelqu’un forme

oud’objets de la raison humaine : les relations d’idées et les faits. Aux relations d’idéescorrespondent les affirmations « qui sont intuitivement ou démonstrativement certaines » et ellesrenvoient aux sciences de la géométrie , de l’algèbre et de l’arithmétique. Ce qui caractérise cesaffirmations c’est « qu’on peut les découvrir par la seule opération de la pensée sans dépendre derien de ce qui existe dans l’univers ». Le Traité signalait qu’elles renvoyaient aux quatre relationsphilosophiques qui dépendent

en général). « Est-ce que cela doit être Sans tout réduire au prix, discuter EPICURE : l’importance des choses, des êtres. Voir leur Lettre à Ménécée recherché ? » importance symbolique. Dissocier l’importance intrinsèque et extrinsèque. KANT : Fondements de la « Puis-je me passer de métaphysique des mœurs ceci ? » Reposer la question d’une réduction possible : la valeur se réduit-elle au plaisir, à John STUART MILL: « De quoi est-ce que je l’utile, au bonheur ? Est-elle quelque chose L’Utilitarisme