Lelecteur Rationnel

Z ⊂ ID) Ensemble des rationnels L’ensemble des rationnels est noté Q Il est constitué des fractions a où a∈ Z et b ∈IN* b * désigne l’ensemble des entiers naturels non nuls IN Exemple : 2 = 0,181818... est un rationnel car son développement décimal illimité 11 est périodique de période 18 Ensemble des irrationnels Exemple : 2 = 1,41423562... est un irrationnel car son développement décimal illimité n’est pas périodique Ensemble des réels L’ensemble des nombres rationnels et des nombres irrationnels

Intégration de fractions rationnelles: décomposition en éléments simples Dans ce (long) chapitre, on montre comment on trouve une primitive pour toute fraction rationnelle img360.png , où img361.png sont de polynômes. On procède par étapes, en illustrant la théorie à l'aide de l'exemple img362.png La première partie de ce chapitre est plutôt algébrique: nous citons et utilisons ici plusieurs théorèmes importants d'algèbre sans démonstration, qui n'a pas sa place dans ce cours d'analyse.

Base de données : Cours 1 Définition 1 : Structure d’une BD Une structure d’une BD relationnelle est basée sur la théorie des ensembles Un ensemble est une collection d’objets finis, non ordonnées, à différencier de la séquence (où l’ordre est important) et du multi-ensemble (où les doublons sont acceptés)      Un ensemble : {A1, A2, …, An} est noté par concaténation de ses éléments : A1 A2 An Une séquence est notée : Les notations A1 A2 A3 et A2 A1 A3 sont équivalents L’ensemble

RACINES CARREES Emilien Suquet, suquet@automaths.com I Définitions, calcul avec les radicaux La racine carrée d’un nombre positif b est le seul nombre positif d dont le carré est égal à b. On a donc d2 = b et on note d = b 2 Par définition, on a donc avec b ≥ 0, b ≥ 0 et ( b) = b 4 2 = 9 3 Ex : 9 = 3 (car 32 = 9) ; 0 = 0 ; 1 = 1 ; 16 = 4 ; 25 = 5 ; Remarque : les nombres négatifs n’ont pas de racine carrée A partir de la définition, nous allons obtenir les trois règles suivantes

virgule. L'ensemble des nombres décimaux est noté D 4. Nombres rationnels Les nombres rationnels sont les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme d'un quotient de deux entiers, autrement dit sous la forme d'une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des entiers. L'ensemble des nombres rationnels est noté ℚ . 5. Les nombres irrationnels Les nombre irrationnels comme leurs l'indique, sont des nombre qui ne sont pas rationnels, comme π , √ 2 , √ 3 etc..., il n'y a pas de notation pour l'ensemble

Un nombre décimal peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. L'ensemble des nombres décimaux est noté ⅅ. Exemples : 0,56 ⅅ 3 ⅅ ⅅ mais ⅅ 4. Nombres rationnels Un nombre rationnel peut s'écrire sous la forme d'un quotient avec un entier et un entier non nul. L'ensemble des nombres rationnels est noté ℚ. Exemples : ℚ 4 ℚ -4,8 ℚ ℚ. 5. Nombres réels L'ensemble des nombres réels est noté ℝ. C'est l'ensemble de tous les nombres que nous utiliserons en classe de

fk ★ l ✫ ✎✔✑ z★ l ✍ ✓ ✌✭✪ fk ✫ ✎✦✑ z★ l F ✝ z ✞ Ce r´esultat permet de signaler que l’op´erateur z ★ s’apparente a` l’op´erateur “retard d’une p´eriode”. ❆ ∞ lim p F ✝ p ✞ ❆ p 0 De mˆeme, si z ★ z 1 F ✝ z ✞ est une fraction rationnelle dont les racines du d´enominateur sont dans le cercle ☎ unit´e alors le signal f k converge pour r ✮ ∞ et on a: z✴ 1 lim f k ✑ lim F ✝ z✞ z❆ 1 z k❆ ∞ 1.1.4 Exemples de transform´ees en z Exemple 1.1 Soit le signal discret tel que

Théorie des langages Leila Jemni Ben Ayed Faculté des Sciences de Tunis Département des Sciences de l’Informatique Ce cours présente la théorie des langages en traitant trois aspects: L’aspect reconnaissance par les automates finis, les automates à pile et les machines de turing, L’aspect génération par les grammaires régulières, non contextuelles et contextuelles, et L’aspect représentation par propriétés mesurables, définitions récursives et expressions régulières. Théorie des langages I. Mots

alors r.x ∈ / Q. √ 2. Montrer que 2 ∈ Q, 3. En déduire : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel. Indications 1. 1. Raisonner par l’absurde. √ 2. Raisonner par l’absurde en écrivant 2 = pq avec p et q premiers entre eux. Ensuite plusieurs méthodes sont possibles par exemple essayer de montrer que p et q sont tous les deux pairs. √ 3. Considérer r + 22 (r −r) (faites un dessin !) pour deux rationnels r, r . Puis utiliser les deux questions précédentes. 1. Soit r = Correction

admise des ensembles de nombres Conformément au programme, on admet l’existence et les principales propriétés des ensembles de nombres suivants : – l’ensemble N des entiers naturels. – l’ensemble Z des entiers relatifs. – l’ensemble Q des nombres rationnels. – l’ensemble R des nombres réels. – l’ensemble C des nombres complexes. On a bien sûr les inclusions strictes : N Z Q R C. On sera également amené à considérer les ensembles suivants (dont les noms ne sont pas fixés par l’usage, mais dont