Image vectorielle

47 4 Calcul vectoriel dans le plan et dans l’espace 4.1 Définitions et règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Systèmes de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Propriétés du calcul vectoriel . . . . . . . . . . . . 4.2 Le produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Le produit vectoriel (cross product) . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Interprétation géométrique du produit vectoriel . . 4.4 Le produit

réduction d’écriture de cette somme vectorielle nécessite l’introduction du point G barycentre de [pic] d’où [pic].On a alors d’après la propriété fondamentale du barycentre [pic]. (E1) est alors l’ensemble des points M du plan tel que : [pic] et [pic] soient colinéaires ; c’est donc la droite passant par G et de vecteur directeur [pic]. 2. * [pic] est de la forme [pic] ; la réduction d’écriture de cette somme vectorielle nécessite l’introduction du point

espaces vectoriels et le calcul matriciel ainsi qu’en termes de résolution de systèmes linéaires. Calcul dans Թ Notions élémentaires sur les ensembles Pré-reqcuis recommandé Mode d’évaluation Contrôle final (2h) contrôle de rattrapage (1h30) Déroulement du cours Cours magistraux (25h) Travaux dirigés (15h) Support du cours Polycopié du cours Séries d’exercices corrigés Contenu du cours Chapitre 1 : espaces vectoriels réels I- LCI et LCE II- Structure d’espace vectoriel réel

c2 = 1 et P la matrice réelle 3 × 3 suivante :   2 a ab ac P = ab b2 bc ac bc c2 1. Calculer le déterminant de P. 2. Déterminer les sous-espaces vectoriels de R3 , ker P et Im P. 3. Soit Q = I − P, calculer P2 , PQ, QP et Q2 . 4. Caractériser géométriquement P et Q. Correction [002578] Exercice 2 Soit E un espace vectoriel sur un corps K (K = R ou C), et u un endomorphisme de E. On suppose u nilpotent, c’est-à-dire qu’il existe un entier strictement positif n tel que un = 0.

. . e 4.6 Produit vectoriel et matrices antisym´triques ΛN . . . . e 4.7 Les orthogonales sont exponentielles d’antisym´triques e 5 Rappels et compl´ments sur les ´l´ments propres e ee . . . . . . . 6 Formes quadratiques et polynˆmes du second degr´ ` variable o e a vectorielle 6.1 Les matrices sym´triques r´elles . . . . . . . . . . . . . . . . e e 6.2 Les formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Polynˆmes du second degr´ ` variable vectorielle . . . . . o ea 6.4

Topologie des espaces m´triques . . . . e 2.3 Continuit´ dans les espaces m´triques e e 2.4 Compacit´ dans les espaces m´triques e e 2.5 Compl´tude . . . . . . . . . . . . . . . e 3 Espaces vectoriels norm´s e 3.1 D´finitions . . . . . . . . . . e 3.2 Applications lin´aires . . . . e 3.3 Sous-espaces vectoriels . . . 3.4 Espaces de Banach . . . . . 3.5 Le cas de la dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 10 12 21 22 23 C Espaces vectoriels I Définitions et premiers exemples . . . . . . . . II Famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . III Dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Sommes directes et espaces supplémentaires V Exercices . . . . . . . . . . . .

linéaire 107 4 Systèmes linéaires Calcul matriciel 1. Systèmes linéaires 109 109 III TABLE DES MATIÈRES 2. Calcul matriciel 3. Un exemple d’espace vectoriel 114 125 5 Espaces vectoriels applications linéaires 1. Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels 2. Applications linéaires 3. Espace vectoriel L (E,F), algèbre L (E) 4. Noyau et image d’une application linéaire 5. Deux applications 131 131 138 142 144 148 6 Diagonalisation 1. Théorie du changement de base 2. Diagonalisation 3. Autres

56 60 61 62 63 65 67 69 72 6 Chapitre 1 Parties convexes d’un espace affine Dans toute cette partie, E sera un expace vectoriel, de dimension finie ou infinie (´vene e tuellement un espace affine). On pourra, lorsque c’est n´cessaire, munir E d’une topologie (m´trique pour simplifier), et on supposera qu’elle est compatible avec la structure d’ese pace vectoriel (i.e. l’addition et la multiplication par un scalaire sont continues). 1.1 1.1.1 D´finition et le th´or`me fondamental e e e

inférieur », on appelle rang du système, le rang de la matrice associée. IV. Définition vectorielle d’un système linéaire Définition : À chaque système linéaire on associe une application linéaire définie comme suit : Où : est la matrice associée à l’application linéaire , est un espace vectoriel de dimension le nombre d’inconnues (nombre de colonnes de la matrice ), est un espace vectoriel de dimension le nombre d’équations (nombre de lignes de la matrice ), est un vecteur colonne