Formule 3000

0 z=0 −8x − 8y + 8z = 0 ⇔ • v ∈ E4 = Ker(f − 4Id) ⇔ . Donc E4 = Vect(v3 ) où v3 = (1, −1, 0). y = −x  z=0 Dans la base B = (v1 , v2 , v3 ), la matrice de f est D = diag(0, 1, 4). 1 où P =  −2 0   1 1 0 −1  et donc 1 0 3) Soit m 1. Les formules de changement de bases permettent d’écrire A = PDP−1 en notant B0 = (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 , Am = matB (fm ) = P × matB0 (fm ) × P−1 = PDm P−1 .   v1 = e1 − 2e2 v2 = e1 + e3 4)  v3 = e1 − e2 m 1,   e2 = −v1 + v3 e1 = −v1

16. 2. En déduire que 20098 001 ≡ 2009 mod 16. Partie B On considère la suite (un ) définie sur N par : u0 = 20092 − 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = (un + 1)5 − 1. 1. a. Démontrer que u0 est divisible par 5. b. Démontrer, en utilisant la formule du binôme de Newton, que pour tout entier naturel n, 3 2 4 un1 = un un + 5 un + 2un + 2un + 1 . c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un est divisible par 5n+1 . 2. b. Démontrer alors que 20098 001 ≡ 2009 mod 625. Partie

FORMULE D'INVERSION DE PASCAL         ¡ Soient (ai) 0 i n et (bi) 0 i n des familles d'éléments d'un anneau commutatif A tels que : p k =0 ¢ ¡ ap = Alors : p k C p bk ∀p ∈ 0, n k =0 Preuve par récurrence : On considère la propriété ℘(p) suivante définie pour p ∈ 0, n : j ¢ ¡ k =0 p • D'après la relation ap = k =0 k C p bk particularisée avec p = 0, on obtient : a0 = b0. D'où ℘(0). • Montrons que : ∀p ∈ 0, n − 1 , ℘(p) Soit p ∈ 0, n − 1 . Supposons donc

l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. Formule sommatoire de Poisson L’objectif de ce problème est d’établir sous quelles conditions la formule sommatoire de Poisson est vraie et d’en étudier certaines applications. Les fonctions considérées dans ce problème sont toutes définies sur R et à valeurs dans C. On note L l’espace vectoriel des fonctions

fonction est solution d’après 12.-. Ainsi : f solution ⇔ (∀x ∈ R, f(x) = −1) ou (∀x ∈ R, f(x) = 1) ou (∃a ∈ R/ ∀x ∈ R, f(x) = tanh(ax)). http ://www.maths-france.fr 5 c Jean-Louis Rouget, 2006. Tous droits réservés. ALGEBRE Partie I : 1.- La formule du binôme de Newton fournit : 2n A= k=0 2n 2n k X −1= k 2n k X =X k k=1 2n k=1 2n k−1 X =X k 2n−1 k=0 2n Xk . k+1 Ainsi, 2n−1 2n Xk . k+1 A = XB où B = k=0 2n 2n B est un polynôme de degré 2n − 1, de coeffcient dominant = 1, et de

dérivant n + 1 fois par rapport à t, sachant que p (n+1) = 0 puisque p est de degré inférieur ou égal à n, et que Q (n+1) (t) = n+1 j=1 1 1 × (n + 1)!, on obtient e(x) = (x − x j ) (n + 1)! n+1 (x − x j ) f (n+1) (j). Cette j=1 formule reste vraie quand x coïncide avec l’un des xi initiaux car dans ce cas e(xi ) = 0. Corrigés des exercices 4. ✞ ✝ 45 lag1.m ☎ clear tabn =[2 ,4 ,6 ,8 ,10 ,12 ,14 ,16 ,18 ,20]; a=-5;b=5; for i=1: length(tabn) n=tabn(i); h=(b-a)/n;

images soit k= 0 6 5 2 n1 2 Choisissons l’élément x ( n choix possibles ), il y a alors Donc card Q=∑ anagrammes de PERE.  et il y a  parties parties A de k éléments, n 2n −k =1 2 n=3 n d'après la formule du binôme de Newton k parties de cardinal k donc le cardinal cherché est 1x n= ∑ n x k k =0 k 2 n− k et en dérivant des 2 côtés : donnant la valeur 1 à x , on obtient : n n n ∑k k =0  n 1x n−1 =∑ k n x k

L'as de la Formule 1 ne fait pas exception aux grands champions de la décennie écoulée : il a porté les records à un niveau jamais atteint (7 titres, 91 victoires) et fait entrer son sport dans une nouvelle dimension. En usant de méthodes parfois discutables. 2000 : une fin, un début. Il tord son volant à trop le marteler de joie à Suzuka. La F1 sait quand il se passe quelque chose de grand et la scène rappelle celle du sacre d'Ayton Senna en 1988, en ce lieu qui ne s'offre qu'aux seigneurs de la

allemand. Avec sept titres de champion du monde de Formule 1 et 91 victoires en Grand Prix, il possède le plus beau palmarès de ce sport. À ce jour, Michael Schumacher détient la plupart des records de la Formule 1 à l'exception des records de moyennes, de précocité et de longévité. Après un apprentissage en karting, dans des formules monoplaces, ainsi que dans le championnat du monde des voitures de sport, Michael Schumacher a débuté sa carrière en Formule 1 lors de l'année 1991, en tant que remplaçant

The organisation of Renault F1 represents a real strength for the brand. Indeed, 3 firms in Europe belong to the team in order to concept the car. By this way, the best engineers and the best technicians can be gathered in 3 places located in England and France. Moreover, specialists of every field: engines, aerodynamics, design are at the top of every firm. Like that, Renault F1 is composed by competitive poles which invent tomorrow’s car. Renault F1 Team not only competes as a constructor but