Formule 3000

Montrons que la suite (un)n∈N∗ définie par un = n n converge vers 1. On remarque d’abord que la suite est minorée par 1. Soit ε > 0 un nombre réel strictement 1 positif. Montrons que n n < 1 + ε pour n assez grand, ce qui équivaut à n < (1 + ε)n. La formule du binôme de Newton montre que (1 + ε)n = 1 + nε + n(n − 1)ε2/2 + · · · + εn. Comme tous les termes du second membre sont positifs, pour avoir n < (1 + ε)n, il suffit que n soit strictement inférieur à n(n − 1)ε2/2. Ceci a lieu si n est strictement

(C'est-à-dire environ 1,765 % de chance.) p Comment calculer avec des coefficients C n ? Rappel : Exemple : n! = 1 × 2 × ... × (n − 1) × n 5 ! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120 Cas spéciaux : 2 ! = 1 × 2 = 2 ; 1 ! = 1 et 0 ! = 1 (convention) Formule générale : n n! = p p! (n − p)! =1 ; Quelques cas particuliers (à connaître) : n = n n- p n n 0 1 =n Propriété de symétrie : p . Exemple : 13 13 = (Le nombre de façons de choisir 9 objets parmi 9 4 13 est égal

Approximation polynômiale uniforme-Polynômes de Bernstein [pic] On considère les suites suivantes : [pic] Question 1 : Montrons que [pic] [pic] On reconnaît la formule du binôme de Newton, [pic] Dans notre cas, [pic] d’où : [pic] On veut montrer que, [pic] [pic] [pic] On pose[pic]. [pic] On vérifie sur Scilab pour le cas particulier où : x=0,1 et n=3 x=0.1; n=3; z=(factor

Théorème : Soit f une fonction développable en série entière sur ] − r, r[. La fonction f est ∞ de classe C sur cet intervalle et les coecients an de son développement sont uniques et déterminés par la formule : ∀n ∈ N, an = f (n) (0) n! 4 8 Développements classiques Formule du binôme généralisée : Pour tout réel α, la fonction x → (+x)α est développable en série entière sur ] − 1, 1[. Son développement est donné par : ∞ ∀x ∈] − 1, 1[, (1 + x) = 1 + n=1

= b, on a xi+1 - xi = (b - a)/n. La somme des aires colorées en jaune pointé représente une approximation J de l'intégrale I. Chaque aire est celle d'un trapèze de hauteur xi+1 - xi, de bases respectives f(xi) et f(xi+1). On obtient ainsi la formule suivante : Démonstration : Considérons alors une subdivision de l'intervalle [a;b] de pas h. Rappelons qu'une subdivision de pas h est définie par l'entier n tel que: h = et par la suite des réels " a , a + h , a + 2h , ..., a + k.h

(Répétition) Remise Avec Ordre (Arrangement) Boules Distinctes Sans Ordre (Combinaison) Boules Identiques Sans Exclusions Avec Exclusions Propriétés: Formule du Binôme de Newton II Axiomatique des probabilités totales L'axiomatique de Kolmogorov définit la probabilité comme une fonction associant, a chacun des événements résultant d'une expérience aléatoire, un nombre qui mesure le degrés de

calculer. Vous aurez essentiellement besoin de savoir manipuler des polynômes, ainsi que d’avoir assimilé les limites, la comparaison des fonctions et la dérivation. Table des matières 1 Cours 1.1 Polynômes de Taylor . . . . . . . . . . . . 1.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . 1.3 Opérations sur les développements limités 1.4 Développement des fonctions usuelles . . . 1.5 Développements asymptotiques . . . . . . 2 Entraînement 2.1 Vrai ou faux . . . 2.2 Exercices . . . . . 2.3 QCM .

condition que ce lien soit accessible librement et gratuitement. Vous ne pouvez pas télécharger les fichiers de mon site pour les installer sur le vôtre. DEVELOPPEMENTS LIMITES PLAN I : Généralités 1) Définition 2) Formule de Taylor avec reste intégral 3) Inégalité de Taylor–Lagrange 4) Formule de Taylor–Young 5) Méthode de Newton-Raphson II : Opérations sur les développements limités 1) Somme 2) Produit 3) Composition 4) Quotient 5) Intégration et dérivation III : Utilisation des développements limités

1 5 10 10 5 1 3.4. Formule du binôme de Newton . On retrouve les coefficients 1 2 1 On retrouve les coefficients 1 3 3 1 Pour développer une expression, il faut utiliser la commande Maxima « expand » b^2-2*a*b+a² -b^3+3*a*b^2-3*a^2*b+a³ b^4+4*a*b^3+6*a^2*b^2+4*a^3*b+a⁴ b^4-4*a*b^3+6*a^2*b^2-4*a^3*b+a^4 b^5+5*a*b^4+10*a^2*b^3+10*a^3*b^2+5*a^4*b+a^5 -b^5+5*a*b^4-10*a^2*b^3+10*a^3*b^2-5*a^4*b+a^5 -4*%i-4 3.5. Formules de Moivre Exercice type : exprimereten

Soit f : [a, b] → R une fonction continue. On se propose de chercher des formules approchées pour calculer l’intégrale ab f (x)dx. On choisit tout d’abord une subdivision a = a0 < a1 < · · · < ak = b du segment [a, b]. La formule de de Chasles donne k−1 b ai+1 f (x)dx. f (x)dx = a ai i=0 On est donc ramené au problème d’évaluer l’intégrale de f sur un petit segment [ai , ai+1 ]. Ce calcul est effectué au moyen de formules approchées du type : li ai+1 f (x)dx ≈ ai ωi,j f (ξi,j ), ξi,j ∈ [ai