Espace vectoriel euclidien

efinitions On note F2 le corps ` a deux ´el´ements 0 et 1. Les mots de longueurs n sont les ´el´ements de Fn2 , que l’on ´ecrira comme des vecteurs lignes. Un code lin´eaire de longueur n est un sousespace vectoriel C ⊂ Fn2 . La lettre k d´esignera toujours la dimension de C (comme espace vectoriel). Le nombre de mots du code C est 2k . Le poids d’un mot x = (x1 , . . . . , xn ) ∈ Fn2 , not´e w(x), est le nombre d’indices i tels que xi = 0. Comme d(x, y) = w(x − y), la distance minimum d d’un code lin´eaire

1 Notion de topologie dans Rn 1.1 Espaces métriques, définition de la distance . . . . . . . . 1.2 Boules ouvertes, fermées, sphères et parties bornée . . . . 1.3 Ouverts et fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Position d’un point par rapport à une partie de Rn . . . . . 1.5 Normes des espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Suites numériques dans un espace vectoriel normé 1.6.2 Ensemble compact . .

plein, un disque ou une boule est convexe, mais un objet creux ne l'est pas. \medskip Un objet est concave s'il est le complémentaire d'un objet convexe, cette notion concrète a été généralisée dans le cadre des espaces vectoriels, on désigne par $E$ un espace vectoriel réel ou complexe et on définit la notion de convexité pour des sous-ensembles de $\mathbb{R}^n $ comme suit : Quels que soient $x$ et $y$ deux éléments de $\mathbb{R}^n $, on appelle segment d'extrémités $x$, $y$ le sous-ensemble

angle au sommet du cône =11,3°). Le support de est dans le cône donc il y a adhérence. 6/4H Q21 : Isolement du verrou 3. Bilan : , et 2/3A4/3F1/3O Système en équilibre soumis à 3 glisseurs donc ils sont coplanaires, concourants et leur somme vectorielle est nulle. Résultats : A2/3 = 2500 N , F4/3 = 2750 N et O1/3= 3950 N Q22 : représentation sur figure1 DR4 Q23 : F = p . S p = F / S = H6/4 / S = 2750 / 75 = 36,66 MPa Q24 : on peut valider car 36,66 MPa < 50 MPa 3ème PARTIE Q25

Chapitre I. G´n´ralit´s sur les espaces vectoriels. e e e Marc de Crisenoy Convention: dans tout le cours, K d´signe un corps commutatif. (En pratique K = Q, R ou C). e § G´n´ralit´s. e e e D´f. 1. On appelle K-espace vectoriel un triplet (E, +, .) ayant les propri´t´s suivantes: e ee (E,+) est un groupe ab´lien e . est une application de K × E dans E (l’image de (λ, x) par cette application est not´e λ.x). e ∀λ ∈ K ∀x, y ∈ E λ.(x + y) = λ.x + λ.y ∀α, β ∈ K ∀x ∈ E (α + β).x = α.x + β.x ∀α, β ∈ K

variable réelle à valeurs réelles: limites, continuité, dérivées, formules de Taylor. • Mathématiques pour les sciences : Systèmes d'équations linéaires, méthode du pivot, 3 2 3 sous-espaces vectoriels de R , familles libres, bases des sous-espaces de R et R , produit 3 scalaire canonique de R , produit vectoriel, matrices 2x2 et 3x3, matrices de transformation du plan et de l'espace, déterminants 2x2 et 3x3, diagonalisation des matrices 2x2, équations différentielles linéaires à coefficients constants

M, F contient la matrice nulle, est stable par combinaison lin´aire , donc F est un sous espace vectoriel e de M b) I et F sont des ´l´ments de F et ne sont pas proportionnels donc (I, F ) est une famille libre de F ee ax + bz −bx + cz ax − by az − bt x z et M F = , on obtient F M = Posons M = ay + bt −by + ct bx + cy bz + ct y t y = −z c−a comme b = 0 , M ∈ F ´quivaut a e ` , donc F est un R-espace vectoriel de dimension 2 x= t+ z b (I, F ) est donc une base de F c) pour tout entier n , F n commute

Repères et coordonnées Formule de la distance Coordonnées du milieu Equation réduite Propriété : Dans un repère : - Toute droite d non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme : y = m x + p [1]. - Toute droite d parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme : x = k [2]. Réciproquement, toute équation de la forme [1] ou [2] est une équation de droite. Définitions : * L’équation y = m x + p ou l’équation x = k est appelée équation réduite de la droite

dans la base canonique est donn´e par e 1 0 1   A =  −1 2 1  . 1 −1 1 1. Montrer que f est trigonalisable. 2. Montrer que l’espace propre associ´ ` la valeur propre 1 est de dimension 1. Montrer que ea u = (1, 1, 0) est un vecteur non-nul de cet espace propre. 3. Montrer que v = (0, 0, 1) est tel que (f − idR3 )(v) = u. 4. Chercher un vecteur propre w associ´ ` la valeur propre 2. Montrer que (u, v, w) est une ea base de R3 . Calculer la matrice T de f dans la base (u, v, w). 5. Calculer f k (v)

l’intégrale Activité(s) : • Etude de l’espace vectoriel IRn • Etude de l’espace vectoriel des matrices Travail personnel : • Préparation des exercices sur les espaces vectoriels S10. Les fonctions à plusieurs variables - Les dérivées partielles - Applications économiques des dérivées partielles Activités : • Détermination des bases canoniques des espaces usuelles • Comment vérifier si une famille de vecteurs est une base d’un espace vectoriel Activités : • Exercices d’applications • Révision