Convexité

 Inégalités 0. Techniques élémentaires. 1. Inégalités de réordonnement. 2. Inégalités de Tchebychev. 3. Inégalités tayloriennes. 4. Inégalités de convexité. 5. Inégalités de la moyenne. 6. Inégalités de Cauchy-Schwarz, etc. 7. Inégalités de Hardy. 8. Inégalités de Hilbert. 9. Inégalité de Muirhead. 10. Inégalités isopérimétriques.

contour supérieur de x est l’ensemble de tous les paniers y préférés à x, soit {y ∈ X : y x}. • Le contour inférieur de x est l’ensemble de tous les paniers y pour lesquels x est préféré, soit {y ∈ X : x y}. Avant de considérer les propriétés de convexité il convient de s’attarder sur la représentation des préférences par des courbes d’indifférence. C’est l’objet de la remarque suivante. Remarque 1 { Courbes d’indifférence } : Lorsque L = 2 l’ensemble d’indifférence peut être représenté par une courbe

intertemporalité), panier de consommation. • Les préférences : courbes d’indifférence (définition), construction des courbes, interprétation des courbes, courbes d’indifférence “standards” (convexes + ne coupent pas les axes), interprétation de la convexité des courbes (graphique + préférence pour la diversité). 1 • Le TMS : définition, calcul (TMS = rapport des utilités marginales), analyse de la décroissance, analyse graphique, Troc et TMS. - Note : de pas confondre la définition du TMS (c’est

courbe d’indifférence va montrer comment le consommateur est prêt à substituer les biens. II- Les préférences convexes ou « préférences normales ». Cette hypothèse de convexité des préférences va montrer que les biens composant les paniers sont imparfaitement substituables. D’un point de vue graphique la convexité donne une courbure à la courbe d’indifférence. D’un point de vue mathématique, la fonction décroissante convexe correspond à une courbe qui décroit de plus en plus faiblement

 critiques et à ceux pour lesquels  la dérivée seconde s'annule ;   2. Tous les intervalles entre et autour des points énumérés en 1 ;   Page 1 sur 6  3. La croissance/décroissance entre les points stationnaires et critiques ;   4. La  concavité/convexité  entre  les  points  où  la  seconde  dérivée  s'annule  ou  n'existe pas;   5. Les minima et maxima locaux.   Utiliser le tableau afin de tracer le graphe.  Nous  faisons  appel  à  deux  exemples  déjà  faits  dans  les  sections  précédentes 

Si et U positif alors Si et U négatif alors Si et U positif alors Si et U négatif alors Exemples : 60 > 1 et U0=-100 donc 1.05 > 1 et U1 = 25 donc et U0=32 ainsi donc III. Convexité : Rappel : Pour donner le tableau de variation de f(x), il faut étudier le signe de f ’(x). Pour donner la convexité de f(x), il faut étudier le signe de f ’ ’(x) afin de dresser le tableau de variation de f ’(x). Il faut toujours bien remplir le tableau avec notamment les maximums et minimums. On appelle

croissance de ce type de courbe. De plus, deux de ces courbes ne peuvent pas être sécantes, car un panier A situé sur deux courbes à la fois serait donc indifférent de deux autres paniers différents entre eux car situés sur deux courbes distinctes. * Convexité des préférences Etudions maintenant la forme convexe des courbes d’indifférence et expliquons là. Sur le graphique précédent, l’hypothèse de saturation nous permet d’affirmer que chaque panier (représenté par un point) situé à droite d’une des

l'intervalle de temps, exprimé en années, séparant la date d'actualisation de la date du flux [pic] [pic]le taux actuariel de l'obligation. On remarque que la sensibilité peut s'exprimer en fonction de la duration [pic] : [pic] CONVEXITE La convexité (en anglais : bond convexity) est un indicateur du risque de taux lié à un instrument à taux fixe, comme une obligation, qui complète la sensibilité ou la duration En utilisant le théorème de Taylor, on peut approcher la variation du prix

colonne vertébrale. Les 7 vertèbres cervicales : elles sont mobiles. On dit qu’elles sont en lordose convexité antérieure. Le rachis cervical est divisé en deux parties: Le rachis cervical supérieur : constitué de l’atlas et de l’axis. Le rachis cervical inférieur: constitué des cinq autres vertèbres. Les 12 vertèbres dorsales : on parle de cyphose dorsale. Elles sont en convexité postérieure. Elles présentent sur la face latérale du corps vertébral des petites facettes qui sont des

Souvent appelée la courbe lombaire, la courbe lordotique se situe là où le haut du corps est raccordé à sa partie inférieure. Lorsque le corps passe de la position debout à la position assise, les hanches pivotent et la convexité de la courbe lombaire disparaît. La perte de convexité est dommageable pour la santé vertébrale. 2. Tension musculaire : Lorsqu’une personne assise adopte une mauvaise posture, les muscles de la partie avant du torse (muscles abdominaux) ont tendance à se détendre. La