Continuité

théorème est aussi valable pour une limite infinie. pas de résultat général 1/3 http://xmaths.free.fr/ TS - Fiche de cours : Limites - Asymptotes 2/3 Continuité - Dérivabilité Limite d'une composée de fonctions a, b et l désignent soit des réels, soit +∞, soit -∞. Si lim f(x) = b et lim g(y) = l , alors lim g o f(x) = l . x→a y→b x→a Continuité Limites obtenues par la dérivée f est continue en x0, si lim f(x) = f(x0) c'est-à-dire si lim f(x0 + h) = f(x0) x→x0 Si f est une fonction dérivable

morceaux sur un segment . . . . . 1.2 R´vision du cours de premi`re ann´e sur l’int´grale des fonce e e e tions continues par morceaux sur un segment . . . . . . . . . . 1.3 L’int´grale fonction d’une borne . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.3.1 Continuit´ par morceaux sur un intervalle quelconque . e 1.3.2 L’int´grale comme fonction d’une borne . . . . . . . . . e 1.4 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 La formule fondamentale du calcul diff´rentiel et int´gral et

−t 2π . t 2 sin 2 t2 −t t sin − t ϕn (t) = 2π t 2π 2 sin 2 (2n + 1)t . Pour t ∈]0, π], on pose alors f(t) = 2 f est continue sur ]0, π]. De plus, quand t tend vers 0, f(t) ∼ posant f(0) = −1. En résumé, −t = −1. f se prolonge donc par continuité en 0 en t 2 2 n ∀n ∈ N∗ , k=1 π2 1 = + k2 6 π f(t) sin 0 (2n + 1)t 2 dt où f(t) =            t2 −t 2π si t ∈]0, π] t . 2 sin 2 −1 si t = 0 Il reste à étudier la limite quand n tend vers +∞ de l’expression

En Droit, l’histoire construit les continuités. Or la continuité raconte les ‘discontinuités’. Continuités et discontinuités sont indissociables [1]. . La continuité se heurte systématiquement au lexique de la rupture et de l’interruption ; elle est une ‘fiction’ ou une ‘apparence’ que les silences, les points de suspension, les parenthèses qui signalent les discontinuités recouvrent graduellement [2]. De l’ordre du discours, la notion de continuité prétend reconstituer la trame des évolutions

(c’est ), ou : Au voisinage de 0, on a : Donc, pour : , d’où . Donc la fonction est prolongeable par continuité en 1 par la valeur 1, et la fonction obtenue admet un DL à l’ordre 1 en 1 : . Donc f est dérivable en 1, et . • Soit f définie sur , où a est un élément de I. S’il existe tels que, au voisinage de 0 privé de 0 : , alors f est prolongeable par continuité en a (par ), et la fonction obtenue admet un DL à l’ordre n en a. ? Au voisinage de 0, on a : Donc • Le

MATHéMATIQUES Terminale ES v 06/09 Partie A : Sommaire Cours ................................................................... 3 Chapitre I : Continuité et Limites ............................................................................ 4 I. Notion de Continuité 4 II. Les Limites 5 Chapitre II : Dérivation et Etude de fonctions ....................................................... 11 I. Nombre dérivé - Fonction dérivée 11 II. Dérivation et Etude de fonction 12 III. Equation

t/2 π/2 cos(nt) dt + ln(t) cos(nt) dt 0 Par intégration par parties, Exercice 3 : [énoncé] a) 0, cf. lemme de Lebesgue. b) Posons π/2 ln(t) cos(nt) dt = π/2 In = 0 0 sin(2nt) cos t dt sin t Cette intégrale existe car un prolongement par continuité est possible en 0. On observe sin(2(n + 1)t) − sin(2nt) = 2 sin t cos(2n + 1)t et donc 1 ln(π/2) sin(nπ/2) − n n nπ/2 0 sin u du u La fonction t → ln sin(t/2) se prolonge en une fonction de classe C 2 sur [0, π/2]. t/2 Par intégration par parties

impaire de l'exponentielle) sh' = ch donc sh est strictement croissante, et du signe de x. ch' = sh donc ch est décroissant sur ]–∞,0] et croissant sur [0,+∞[. -3- ex au voisinage de +∞. 2 (La notation ∼ est définie dans le chapitre Limites et Continuité qu'on trouvera dans le fichier f(x) LIMITES.PDF. f ∼ g au voisinage de x0 signifie que lim = 1) g(x) x → x0 sh(x) ∼ x au voisinage de 0 (car sh'0 = 1). ch(x) ∼ 1 au voisinage de 0. x2 x ch(x) – 1 ∼ car on vérifiera que ch(x) – 1 = 2 sh2( ) 2 2 sh(x)

D(F1 , . . . , F6 ) = ... ... ... ... ... D(x01 , . . . , x06 ) . . . . . . 0 sin t 0 0 ... ... 0 = 2 x06 sin t 2 x06 les intégrales singulières sont donc les solutions de (Sn1 ) telles que, sur I, on ait : 2 x06 sin t = 0, c’est-à-dire (par continuité) x06 = 0. 2 L’équation (x06 ) + t x1 = 0 donne alors x1 = 0, et les équations x04 conduisent à x2 = a t2 + b t + c , (a, b, c) 2 R3 . x6 = 0 et x02 x4 = 0 La solution générale s’obtient ensuite en résolvant le système normal : 8 > > x01 = x3

Soit a et b dans ]O ;+∞[ avec alneA⟹lnx>A donc limx→+∞lnx=+∞ En 0 : on pose X=1x donc limx→0x>0X=+∞ donc limX→+∞lnX=+∞d’où limx⟶0x>0lnX=+∞ (par composée) donc limx⟶0x>0-lnX=-∞ or lnx=-ln1X=-lnX donc limx⟶0x>0lnx=0 « dérivabilité de lnx » La continuité est admise. On mq lnx est dérivable et que ln'x=1x Soit aЄℝ+ et a+h Є ]0 ;+∞[ ; Ta de ln entre a et a+h ⟶ Ta(h)=lna+h-lnah il suffit de montrer que limh→0Ta=1h On pose b=lna et k=ln(a+h), quand h→0 (a+h) tend vers a donc k tend vers b (car ln