Composition 3as

rationnel, réel ou complexe). Un espace vectoriel sur K, ou K-espace vectoriel, est un ensemble E, dont les éléments sont appelés vecteurs, muni de deux lois : • une loi interne « + » : E2 → E, appelée addition ou somme vectorielle, • une loi de composition externe à gauche « • » : K × E → E, appelée multiplication par un scalaire, Telles que les propriétés suivantes soient vérifiées. 1. (E,+) est un groupe abélien, autrement dit : • la loi « + » est commutativeN 1 et associative, • elle admet

r´els e e ee e Corps des nombres r´els e Propri´t´. R est muni de la loi de composition interne   satisfaisant : e e • Associativit´ : dx, y, z, px   y q   z  x   py   z q e • 0 est ´l´ment neutre : dx, x   0  0   x  x ee • Tout r´el a un oppos´ : dx, hy p ¡xq t.q. x   y  y   x  0 e e • Commutativit´ : dx, y, x   y  y   x e On dit que pR,  q est un groupe commutatif. Propri´t´. R est aussi muni de la loi de composition interne ¢ aussi not´e ¤ ou [absence de signe] satisfaisant : e e e • Associativit´

opérations correspondant aux éléments de symétrie d’une molécule constitue un groupe de symétrie, d’ordre g. De manière générale, un groupe est un ensemble dont les éléments satisfont aux axiomes de structure suivants. (i) Il existe une loi de composition interne (ici le produit des opérations) qui associe à deux éléments A et B un troisième élément C = A.B appartenant au groupe. Cette loi est associative : A. B. C = A .(B.C) = (A.B.).C (ii) Il existe un élément neutre E appartenant au groupe tel

2) Logique 3) Introduction à la démonstration 4) Fonctions, injections, surjections 5) Ensembles finis 6) Relation d'ordre a) Définition b) Ordre total, ordre partiel c) Majorant, minorant, maximum, minimum II : Structures algébriques 1) Loi de composition interne 2) Définition d'un groupe 3) Sous-groupe 4) Morphismes, Exemples 5) Propriétés des morphismes 6) Anneaux et corps Annexe I : ensembles dénombrables et non dénombrables Annexe II : axiomes I : Vocabulaire On rassemble ci-dessous un certain

par τa (x) = axa−1 . a) Montrer que τa est un endomorphisme du groupe (G, ×). b) Vérifier que ∀a, b ∈ G, τa ◦ τb = τab c) Montrer que τa est bijective et déterminer son application réciproque. d) En déduire que T = {τa | a ∈ G} muni du produit de composition est un groupe. Exercice 4 [ 02221 ] [correction] Soit (G, ), (G , ) deux groupes et f : G → G un morphisme de groupes. a) Montrer que pour tout sous-groupe H de G, f (H) est un sous-groupe de (G , ). b) Montrer que pour tout sous-groupe H de G

algébrique particulière. Les éléments de E sont appelés vecteurs. Cette structure algébrique est due essentiellement aux deux propriétés suivantes : ∀α∈IR ; ∀u∈E scalaire vecteur on a : αu∈E u+v∈E Loi de composition externe ∀u∈E ; ∀v∈E on a : Loi de composition interne Exemple fondamental Considérons l’ensemble suivant : E = IRn IR = (x1,x2,...,xn)/ x1,x2,...,xn∈IR n           12 21/10/2010 n=2: IR = (x1,x2)/ x1,x2∈IR Ensemble des couples

le corps des nombres complexes ). Cependant l'ensemble A doit posséder un certain nombre de propriétés algébriques (A doit être un anneau commutatif(1)). (1) Notion de groupe Un ensemble G est un groupe si il est muni d'une l.c.i * (loi de composition interne) vérifiant les trois propriétés suivantes : · Existence d'un élément neutre e : "x Î G, e * x = x * e = x · Associativité de la loi * : "x, y, z Î G, (x * y) * z = x * (y * z) = x * y * z · Existence d'un symétrique pour tout x de E : "x

2. Propriétés des ensembles de nombres a. Loi de composition interne On appelle loi de composition interne toute application de E×E dans E. Une loi de composition interne dans un ensemble E, peut être schématisée de la façon suivante : ×x y× x@y × E Loi de composition quelconque « @ » « @ » est en quelque sorte, ici, le symbole de la loi de composition (comme le sont ailleurs +, ou ÷, par exemple). Une loi de composition interne « @ » est donc définie par : T : E×E  (x

Lois de composition internes 1-) On définit dans I la loi ∗ par: a ∗ b = a + b + ab. R a-) Justifier que ∗ est bien une loi de composition interne dans I R. b-) Montrer que cette loi est commutative. Est-elle associative ? c-) Montrer que ∗ admet un élément neutre. d-) Quels sont les éléments inversibles par rapport à cette loi ? e-) Quels sont les éléments réguliers ? f-) Montrer que I + est stable par ∗. En est-il de même de I – ? de I * ? de Z ? R R R Z ––––––––––––––––

6 8 STRUCTURE DE SOUS-ESPACE VECTORIEL.......................................................................... 8 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 3 LOI DE COMPOSITION INTERNE (L.C.I.) LOI DE COMPOSITION EXTERNE (L.C.E.) NOTATIONS EXEMPLES DE LOIS DE COMPOSITION PARTIE STABLE POUR UNE LOI DE COMPOSITION PROPRIETES USUELLES DES LOIS DE COMPOSITION STRUCTURE D’ESPACE VECTORIEL REEL HOMOMORPHISME D’ESPACES VECTORIELS MATRICE ASSOCIE CANONIQUEMENT A UN SYSTEME DE VECTEURS COMBINAISON LINEAIRE DE VECTEURS