Composition 3as

ℑ(∇,∇) de toutes les fonctions de x dans ∇ est un ∇ – espace vectoriel 5) L'ensemble de Mn x m (K) de toutes les matrices n x m est un K – espace vectoriel Remarque: pour tous ces exemples, il est bien sûr nécessaire de définir les deux lois de compositions Conséquence des axiomes: 1) λ ⋅ 0 = 0 ∀λ∈K 2) 0 ⋅ v = 0 ∀v∈V 3) λ ⋅ v = 0, alors λ = 0 ou bien v = 0 4) λ ⋅ (-v) = - (λ ⋅ v) ∀ λ ∈ K et ∀ v ∈ V Soit V un K – espace vectoriel. On dit qu'une partie W de V est un sous – espace vectoriel (ou plus

(γm)m∈ où γm = ¨  i  m−i Le seul cas où αiβm−i est non nuls est lorsque i = n et m − i = p C'est-à-dire m = p + n. i=0 m Définition - Propriété Soit (A,+,×) un anneau commutatif unifère. L’ensemble des suites presque nulles muni des lois de compositions + et × précédemment définies est un anneau commutatif unifère appelé anneau des polynômes à une indéterminée, à coefficients dans A et est noté A[X]. Remarque On note P = (a0, a1, a2,......., ap, 0, 0, ........) = ¨ a n X n . X = (0, 1, 0,

les nombres r´els et e e complexes. Par Prof: Jilali Mikram Groupe d’Analyse Num´rique et Optimisation e http://www.fsr.ac.ma/ANO/ Email : mikram@fsr.ac.ma Ann´e : 2005-2006 e 1 TABLE DES MATIERES 1 Les nombres r´els e 1.1 Loi de composition interne . . . . . . . . 1.2 Les irrationnels . . . . . . . . . . . . . . 1.3 L’ordre dans IR . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Partie enti`re d’un nombre r´el x : E(x) e e 1.5 Les intervalles ouverts et ferm´s dans IR e 1.6 Les intervalles dans IR

vectoriel Définition 1.1. On appelle K-espace vectoriel ou espace vectoriel sur K, tout ensemble E, dont les éléments sont appelés vecteurs, muni d’une loi de composition interne (appelée addition et notée « + » ) et d’une loi de composition externe (appelée multiplicateur par un scalaire et notée « . ») vérifiant : 1. L’addition est une loi de composition interne sur E : ∀(u, v) ∈ E2 , u + v existe et : u + v ∈ E. 2. L’addition est associative, c’est à dire : ∀(u, v, w) ∈ E3 , (u + v) + w = u + (v + w) =

puisse multiplier chaque vecteur u d’un facteur λ pour obtenir un vecteur λ · u. Voici la définition formelle : Définition 1 Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : – d’une loi de composition interne, c’est-à-dire d’une application de E × E dans E : E×E → (u, v) → E u+v – d’une loi de composition externe, c’est-à-dire d’une application de K × E dans E : K×E → E (λ, u) → λ · u 1 2 qui vérifient les propriétés suivantes : 1. u + v = v + u (pour tous u, v ∈ E) 2. u + (v + w) = (u +

SOUS-GROUPES DE (, +) On note (, +) l'ensemble  des entiers relatifs muni de l'addition usuelle. Cet ensemble ainsi constitué est un groupe car la loi + est : · une loi de composition interne (cela signifie qu'elle s'applique à des éléments de  et a pour résultat un élément de  : "(x, y) Î  ´ , x + y Î ) · associative ("(x, y, z) Î  ´  ´ , (x + y) + z = x + (y + z)) · possède un élément neutre 0 ("x Î , x + 0 = 0 + x = x) · et tout élément admet un symétrique ("x Î , $y Î  tel que x

Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 1 : Espace vectoriel réel CHAPITRE 1 : ESPACE VECTORIEL I- Loi de composition interne et Loi de composition externe......................................................................2 I-1 Loi de composition interne (L.C.I.).................................................................................................................2 I-1-1 Définition...................................................................

vectoriels On traite dans ce qui suit le cas r´el, le cas complexe se traitant de mani`re e e similaire. 1.1 Espaces vectoriels D´finition 1.1 Un espace vectoriel sur R est un triplet (E, +, .) o` e u – E est un ensemble, – “+” une loi de composition interne : E × E → E telle que (´l´ment neutre) ∃0E ∈ E avec ∀x ∈ E, x + 0E = 0E + x = x ee (oppos´) e ∀x ∈ E, ∃(−x) ∈ E avec x + (−x) = (−x) + x = 0E e ∀(x, y, z) ∈ E 3 , x + (y + z) = (x + y) + z (associativit´) (commutativit´) ∀(x, y) ∈ E 2 ,

(λ · y), — pour tous x ∈ E et λ, µ ∈ K : (λ + µ) · x = (λ · x) + (µ · x), — pour tous x ∈ E et λ, µ ∈ K : λ · (µ · x) = (λµ) · x. Les éléments d’un espace vectoriel E sont appelés des vecteurs. La loi ·, qui n’est pas une loi de composition interne sur E puisqu’à travers elle des éléments de K agissent sur des vecteurs, est qualifiée de loi externe. En tant qu’ils agissent via · sur les vecteurs de E, les éléments de K sont appelés des scalaires. La loi + est appelée addition et la

On peut multiplier les vecteurs de Rn par des ´l´ments du corps des r´els. ee e (R[X], +, ·) l’ensemble des polynˆmes sur R o Institut SupBiotech’ de Paris Villejuif, le 1.2.10 2/5 Karim L. Trabelsi (ISBP) Espace vectoriel Loi de composition externe Soient K et E deux ensembles non vides. Une loi externe sur E de domaine d’op´rateur K est une application de K × E dans E. e D´finition - Espace vectoriel e Soit E un ensemble non vide muni d’une loi interne ∗ et d’une loi externe