1 . Soient a et b deux entiers > 0. (a) Montrer que si a et b sont premiers entre eux, il existe un unique couple d’entiers > 0 (u, v) tel que au − bv = 1 v´rifiant u < b et v < a. e (b) Montrer que a et b sont non premiers entre eux si et seulement s’il existe deux entiers > 0 u et v tels que au = bv, avec u < b et v < a. e e 2 . : Le th´or`me chinois : (a) D´terminer tous les entiers relatifs qui deviennent divisibles par 5 si on leur ˆte 1, et divisible par e o 4 si on leur ajoute 1. (b) Soit a et b deux entiers premiers entre eux. D’apr`s le th´or`me de B´zout, il existe donc u et v e e e e entiers tels que au + bv = 1. e D´montrer le th´or`me chinois : pour tout couple d’entiers (a1 , b1 ) donn´, on a : e e e x ≡ a1 [a] ⇔ x ≡ bv · a1 + au · b1 [ab] x ≡ b1 [b] On ram`ne donc ainsi un syst`me de deux congruences ` une seule congruence. e e a (c) R´soudre ` l’aide du th´or`me chinois les probl`mes suivants : e a e e e i. Le probl`me chinois historique du 4`me si`cle auquel est dˆ le nom du th´or`me : e e e u e e Nous avons des objets en nombre inconnu, mais nous savons que : - si nous les regroupons par paquets de 3, il en reste 2. - si nous les regroupons par paquets de 5, il en reste 3. - si nous les regroupons par paquets de 7, il en reste 2. Combien y-a-t-il d’objets ? ii. Les pirates et le cuisinier... 17 pirates se sont empar´s d’un butin compos´ de pi`ces d’or identiques. Ils d´cident de se e e e e les partager ´quitablement, et de donner le reste, soit 3 pi`ces d’or, au cuisinier. Mais entre e e temps les pirates se querellent, et 6 d’entre eux meurent. Il reste alors 4 pi`ces d’or au cuisinier. e Ensuite le bateau fait naufrage ; il ne reste que 6 pirates et le cuisinier. Le partage laisserait alors 5 pi`ces ` ce dernier. Mais le cuisinier d´cide d’empoisonner le reste des pirates. e a e Quelle fortune minimale peut-il esp´rer obtenir ? e (d) On suppose maintenant a et b quelconques (non nuls) et on cherche toujours a r´soudre le syst`me ` e e x ≡ a1 [a]