L'addition se conçoit d'abord comme le dénombrement d'une réunion de collections d'objets, à trois conditions : * D'une part, ces objets ne doivent pas perdre leur individualité quand on les réunit, comme le feraient des liquides2 ou des boules soit par un comptage, soit par un calcul mathématique sur les nombres décrivant les quantités de départ.
De même, pour que l'addition puisse décrire la réunion d'objets fractionnaires, comme des portions de cercle ou des figures géométriques tracées sur un quadrillage, il faut que tous les objets soient évalués à partir d'une sous-division commune, une brique élémentaire. Mathématiquement, cette condition s'interprète comme la recherche d'un dénominateur commun à plusieurs fractions.
Certaines grandeurs physiques, mais aussi géométriques ou économiques3, peuvent également s'additionner par la réunion des objets sur lesquels elles sont mesurées. Mais ces grandeurs doivent alors être évaluées relativement à une unité de mesure commune.
Bilan de variations
L'addition peut mettre en jeu des nombres négatifs en apparaissant comme le bilan des variations ou des déplacements successifs le long d'un axe orienté. Chaque terme est alors muni d'un signe indiquant son sens : positif pour un gain, une augmentation ou un déplacement dans le sens de l'axe ; négatif pour une perte, une diminution ou un déplacement dans le sens contraire à celui de l'axe. Le résultat de l'opération est alors appelé une « somme algébrique ».
Les variations peuvent là encore concerner des quantités entières ou fractionnaires, ou n'importe quelle grandeur mesurée.
Par exemple, l'addition de et traduit une perte de cinq unités et le gain de deux unités. Le résultat de l'addition, , correspond à la variation globale du nombre d'unités : trois unités ont été perdues.
Cette conception peut être étendue pour définir l'addition des vecteurs par juxtaposition de déplacements ou translations, en n'imposant plus qu'ils se fassent le long d'un même axe.