PUISSANCE D'UN POINT PAR RAPPORT À UN CERCLE UNE PROPRIÉTÉ C est un cercle de rayon R et de centre O. I est un point quelconque du plan. Une droite D passant par I coupe le cercle C en deux points A et B. ® ® Il s'agit de démontrer que le produit scalaire IA . IB est indépendant de la droite D. ® ® 2 2 On considère le point A' de C diamétralement opposé à A. Démontrer que IA . IB = IO – R Cet invariant remarquable est appelé la puissance du point I par rapport au cercle C.

APPLICATION D'un point W intérieur à un cercle C de rayon R, on mène deux droites perpendiculaires qui rencontrent le cercle C en A et A' d'une part et en B et B' d'autre part. On note I le milieu du segment [A'B']. Il s'agit de montrer que la médiane issue de W dans le triangle WA'B' est hauteur du triangle WAB. 1. Faire une figure. ® ® ® ® 2. Démontrer que les produits scalaires WA . WA¢ et WB . WB¢ sont égaux. ® ® 3. Calculer le produit scalaire AB . WI et conclure.
B' I A' W A

C

B

SOLUTIONS (succinctes)

La propriété : ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® 2 2 IA . IB = IA . IA¢ = ( IO + OA ).( IO + OA¢ ) = ( IO + OA ).( IO – OA ) = IO – R

L'application : ® ® ® ® WA . WA¢ = WB . WB¢ d'après la propriété ci–dessus appliquée à I = W. ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® 1 ® ® 1 ® ® AB . WI = ( AW + WB ).( WA¢ + WB¢ ) = ( AW . WA¢ + AW . WB¢ + WB . WA¢ + WB . WB¢ ) = 0 2 2 Les droites (AB) et (WI) sont donc perpendiculaires.

Puissance d'un point par rapport à un cercle

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G. COSTANTINI http://bacamaths.net/

Exercice : Soit C un cercle de rayon R et de centre O. Soient A, A', B et B' des points de C tels que la droite (AA') soit perpendiculaire à (BB'). On note W le point d'intersection des droites (AA') et (BB'). On sait que WB = 3, WB' = 2 et WA' = 6. Calculer WA, WO et R. C
B'

2 H 6 O 3 W K

A'

A

B

Solution : D'après la propriété précédente : D'où :

® ® ® ® WA . WA¢ = WB . WB¢ -WA ´ WA' = -WB ´ WB' WA ´ 6 = 2 ´ 3 WA = 1

Calculons WO avec la relation :

WO2 = WH2 +