Probabilités et statistiques
1° Spé 1/4 CHAPITRE X : VARIABLES ALEATOIRES
Dans tout le chapitre, 𝑃 est une probabilité définie sur l’univers fini Ω.
Ce chapitre sera présenté au travers de l’exemple présenté ci-dessous. La mise en forme particulière de l’énoncé sera reprise dans le corps du cours afin d’indiquer qu’il s’agit de la poursuite de l’exemple.
I. Variable aléatoire réelle
a. Variable aléatoire et événement
DEFINITION Une variable aléatoire 𝑋 sur Ω est une fonction …afficher plus de contenu…

PROPRIETE LINEARITE DE L’ESPERANCE
Soit 𝑋 une variable aléatoire et soit 𝑎 et 𝑏 des réels. Alors 𝐸(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝑎 × 𝐸(𝑋) + 𝑏
b. Variance et écart type
DEFINITION La variance d’une variable aléatoire 𝑋, notée 𝑉(𝑋), est le nombre réel donné par : 𝑉(𝑋) = [𝑥1 − 𝐸(𝑋)]2𝑝1 + [𝑥2 − 𝐸(𝑋)]2𝑝2 + ⋯ + [𝑥𝑟 − 𝐸(𝑋)]2𝑝𝑟
𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥𝑖𝑝𝑖
𝑟 …afficher plus de contenu…

Dans notre exemple :
La variance de la variable aléatoire 𝑌 du jeu est :
𝑉(𝑌) = 𝑉(𝑋 − 1) = 𝑉(𝑋) = 7,25
La variance de la variable aléatoire 𝑍 du jeu est :
𝑉(𝑍) = 𝑉(2𝑋) = 22 × 𝑉(𝑋) = 29
Dans notre exemple :
L’écart-type de la variable aléatoire 𝑋 du jeu est :
𝜎(𝑋) = √𝑉(𝑋) ≈ 2,7 € à 0,1 𝑝𝑟è𝑠
L’écart-type de la variable aléatoire 𝑌 du jeu est :
𝜎(𝑌) = √𝑉(𝑋) ≈ 2,7 € à 0,1 𝑝𝑟è𝑠
L’écart-type de la variable aléatoire 𝑍 du jeu est :
𝜎(𝑍) = 2√𝑉(𝑋) ≈ 5,4 € à 0,1