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LIMITE D’UNE SUITE
Etudier la limite d’une suite ( u n ) , c’est examiner le comportement des termes u n lorsque n prend des valeurs de plus en plus grandes vers + ∞

1 ) LES DIFFERENTS CAS POSSIBLES
Soit une suite ( u n ) . cas 1 Si « u n est aussi grand que l’on veut dès que n est assez grand » , alors on dit De manière plus mathématique : que la suite ( u n ) a pour limite + ∞ . Pour tout réel M > 0 , il existe un entier naturel p , tel que, si n ≥ p , alors u n > M On note lim u n = + ∞ Ex : lim n ² = + ∞ n → +∞ n → +∞

cas 2 Ex : Si les termes u n finissent par être négatifs et « si un est aussi grand que l’on lim ( – n ² ) = – ∞ veut en valeur absolue dès que n est assez grand », alors on dit que la suite ( u n) n → +∞ a pour limite – ∞ . On note : n → +∞

lim u n = – ∞

n → +∞

lim u n = – ∞ ⇔

n → +∞

lim ( - u n ) = + ∞

cas 3 ( suite convergente ) Soit L un réel donné. Intuitivement, dire que ( u n ) a pour limite L , signifie que lorsque n est de plus en plus grand, les nombres u n correspondants viennent s’accumuler autour de L C’est à dire, tout intervalle ouvert de centre L contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On note : lim u n = L n → +∞

De manière plus mathématique : Pour tout ε (ε > 0 ) , il existe un entier naturel p , tel que, si n ≥ p , alors u n ∈ ] L – ε ; L + ε [ ( c’est à dire L – ε < u n < L + ε ) Ex : lim n → +∞

1 =0 n²

Rem : Si une suite ( u n ) a une limite finie L , alors la limite L est unique. cas 4 Aucun des trois cas ne se produit. Ex : La suite ( u n ) définie par u n = ( - 1 ) n prend successivement les valeurs 1 et – 1 Ainsi ( u n ) n’a pas pour limite + ∞ , n’a pas pour limite – ∞ et n’a pas pour limite un réel. Une suite qui ne converge pas est divergente . ( cas 1 , cas 2 , cas 4 )

Rem :

2 ) LE CAS u n = f ( n )
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [ a ; + ∞ [ et ( u suite définie par u n = f ( n ) . ) la
Preuve intuitive : ( cas où la