Transformée de laplace
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Transformée de LaplaceTransformée de Laplace
C’est une astuce mathématique « géniale » qui permet de remplacer une équation différentielle du type m x + c x + k x = f ( t ) par une équation algébrique de type A X = F beaucoup plus facile à résoudre !!!
Démonstration :
+∞ 0
Posons
F( s ) =
e − st f ( t ) dt = L f ( t )
( )
1
Par l’opérateur L on substitue f ( t ) par F( s )
f (t )
L F( s ) →
D’autre part en appliquant la formule très connue ( uv ) ' = ( u ) ' v + u ( v ) ' et en la transformant ainsi u ( v ) ' = ( uv ) '− ( u ) ' v sur l’expression suivante :
e− st u f '( t ) v =
d − st e dt u
( uv ) '
f( t ) v −
( −s ) u' e− st
( f( ) ) t v
e− st f '( t )
=
d − st e f(t ) dt
+ s e− st f( t )
En intégrant membre à membre, il vient :
+∞ 0
e − st f '( t ) dt
F '( s )
=
+∞ 0
d − st e f( t ) dt dt
+
+∞ 0
s e − st f ( t ) dt
Gérard Wollensack
1
Transformée de Laplace
+∞ 0 +∞ 0 +∞ 0
e − st f '( t ) dt
F '( s )
=
e− st f ( t )
→ 0 1
+s
e− st f( t ) dt
F( s )
e−∞ f( ∞ ) − e0 f ( t )
F '( s ) = − f( 0 ) + s F( s )
ceci en ayant posé :
F '( s ) =
+∞
0
e− st f '( t ) dt
F '( s ) étant la transformée de f '( t )
De la même manière
F ''( s ) = − f '( 0) + s F '( s )
F ''( s ) étant la transformée de f ''( t )
Et ainsi de suite ….
On pourrait montrer :
f(t )
Transformée de Laplace F( s )
α1 f1(t ) + α 2 f 2(t ) f '( t ) f ((t )n ) t t
α1 F1( s ) + α 2 F2( s ) s F( s ) − f ( 0 ) s n F( s ) − s n −1 f ( 0) + s n − 2 f '( 0 ) + ..... + s f ( n−2) ( 0)
+ f(
n −1)
( 0)
0
f ( u ) g(t −u ) du
ou
0
f ( t −u ) g( u ) du F( s )G( s ) F( s + a )
1 F s ( s) 1 F − s ( s)
e− at f ( t ) t 0 t t0
f ( u ) du f( u ) du
{
t0
0
f (u ) du
}
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Gérard Wollensack
Transformée de Laplace Application à la mécanique des vibrations où nous avons le type