ématThéorie de la mesure
Octobre 2011

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Définition (Tribu) : Soit F une famille de parties d’un ensemble Ω. On dit que F est une tribu sur Ω ssi : 1. 0 ∈ F / 2. A ∈ F ⇒ Ac ∈ F (Stabilité par complémentation) 3. (∀i ∈ N, Ai ∈ F ) ⇒ i∈N Ai ∈ F (Stabilité par intersection dénombrable)

Lemme : F est une tribu Si ∀i ∈ N, Ai ∈ F

∞

Alors i=1 Ai ∈ F

Proposition : Soit C une famille de parties de Ω Il existe une tribu sur Ω notée σ (C ) et appelée Tribu engendrée par C telle que : 1. C ⊂ σ (C ) 2. Pour toute tribu T , (C ⊂ T ⇒ σ (C ) ⊂ T ) Proposition : Soient C et D deux classes (ou familles de parties). C ⊂ σ (D ) ⇒ σ (C ) = σ (D ) D ⊂ σ (C ) Définition (Tribu Produit) : Soient (Ω, F ) et (Ω , F ) deux espaces mesurables. On appelle tribu produit de F et F et on note F F , la tribu engendrée par la famille des pavés mesurables { A × A | A ∈ F et A ∈ F }. L’espace mesurable (Ω × Ω , F F ) est appelé espace mesurable produit de (Ω, F ) et (Ω , F ) Définition (Mesure) : Soit (Ω, F ) un espace mesurable. On dit que ν : F −→ R ∞ est une mesure positive ssi : 1. ∀A ∈ F : 0 ≤ ν (A) 2. ∀i ∈ N, Ai ∈ F alors ν ( Ai ) = ∑ ν (Ai ) Les Ai sont dis joints i∈N i∈N σ -additivité

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Proposition (Monotonie, Sous-additivité et Continuité) : Soit (Ω, F , ν ) un espace mesuré 1. Monotonie : si A ⊂ B alors ν (A) ≤ ν (B)
∞

2. Sous-Additivité : Pour toute suite (Ai )i∈N on a : ν ( i=1 Ai ) ≤ ∑ ν (Ai ) i=1 n

∞

3. Continuité (union) : ∀ (Ai )i∈N ∈ F N / ∀i ∈ N, 4. Continuité (intersection) : ∀ (Ai )i∈N ∈ F N / ∀i ∈ N, Lemme : Ai ⊃ Ai+1 on a : ν (
∞ ∞

Ai ⊂ Ai+1 on a : ν (

∞

Ai ) = lim ν ( i=1 n→∞ i=1 n

Ai ) = lim ν (An ) n→∞ Ai ) = lim ν ( i=1 n→∞ i=1

Ai ) = lim ν (An ) n→∞ 1. Si ∀i ∈ N, ν (Ai ) = 0

alors ν ( i=1 Ai ) =