Baccalauréat STL France juin 2000 Physique de laboratoire et de procédés industriels
Durée : 4 heures Coefficient : 4

E XERCICE 1 5 points Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (unité graphique 10 cm). 2π Pour tout entier naturel n, on note Mn le point d’affixe zn = ei 3 · in où i désigne le π nombre complexe de module 1 et d’argument . (Par convention, pour n = 0, i0 = 2 1.) 1. Déterrniner la forme algébrique ainsi que le module et un argument de chacun des nombres complexes z0 , z1 , z2 et z3 . Placer dans le plan les points M0 , M1 , M2 et M3 . 2. Exprimer zn+1 en fonction de zn . En déduire que Mn+1 est l’image de Mn , par une rotation r de centre O. Préciser une mesure de l’angle de cette rotation. 3. a. Exprimer un argument de zn en fonction de n. b. Déterminer les entiers naturels n tels que Mn soit confondu avec M0 . n i i 2π . (par 4. Pour tout entier naturel n, on note Q n , le point d’affixe ωn = e 3 · 2 convention, pour n = 0, i 2
0

= 1).

a. Montrer que pour tout entier naturel n, les points O, Mn , et Q n sont alignés. b. Placer les points Q 0 , Q 1 , Q 2 et Q 3 dans le plan.

E XERCICE 2 4 points Les unités physiques utilisées sont le mètre (m) et le kilogramme (kg). Un mobile de masse 16 kg, guidé rectilignement sur un banc à coussin d’air, est attaché à un ressort dont la constante de raideur vaut k = 1. Si l’on écarte le centre d’inertie G du solide de sa position d’équilibre O, alors G effectue des oscillations autour de celle-ci. À l’instant t , la position de G est repérée par le point M d’abscisse f (t ) dans le repère − O, → . ı

G

O → − ı

M f (t )

G

1

On admettra que la fonction f est solution de l’équation différentielle : (E) 1. : 16y ′′ + y = 0.

a. Résoudre l’équation différentielle (E). b. On suppose qu’à l’instant t = 0 le mobile est au point d’abscisse f (0) = 0,5 m et a une vitesse égale à f ′ (0) = 0,125 m.s−1 . t t 1 cos + sin . Montrer que la fonction f est définie par f (t ) = 2 4