Suites géométriques et croissance exponentielle
Exercice 1 : Une personne place un capital de 5 000 € à intérêts composés au taux annuel de 5 %. Cela signifie que, à la fin de chaque année, le capital augmente de 5 % de sa valeur de l’année en cours. L’augmentation n’est donc pas constante, contrairement au cas d’un placement à intérêts simples. Notons S0 la somme initiale en euros (S0 = 5 000 €), S1 le capital disponible au bout d’un an et, de manière générale, Sn le capital disponible au bout de n années. 1) Calculer S1. 2) Ecrire S2 en fonction de S1, puis S2 en fonction de S0. 3) Comment s’écrit Sn+1 en fonction de Sn ? Sn en fonction de S0 ? A retenir : • On dit qu’une suite est une suite géométrique si chaque terme est obtenu à partir du précédent en le multipliant toujours par un même nombre q. q est appelé raison de la suite. On a : un+1 = q×un . × • Calculs de termes : Si (un) est une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q, alors un = u0×q (1) . Plus généralement, dés que l’on connaît la raison q et l’un des termes up (pas nécessairement le premier), on a : un = up×q n–p n

Exercice 4 : 1) Une suite (un) vérifie, pour tout naturel n, un+1 – 3 = 0. Expliquer pourquoi (un) est une suite géométrique de donner sa raison. 2) Une suite (un) vérifie, pour tout naturel n, 3un+1 – un = 0. Expliquer pourquoi (un) est géométrique et donner sa raison. n 3) On pose, pour tout naturel n, un = 4×(2) .
3 un

Expliquer pourquoi la suite (un) est géométrique et donner sa raison. Exercice 5 : On donne les quatre premiers termes d’une suite (un). Indiquer si la suite peut être géométrique ou non. 1) u0 = 12 , u1 = 3 , u2 = 3 , u3 = 3
4 16

2) u0 = 1 , u1 = 2 , u2 = 4 , u3 = 8
27 9 3 2 3) u0 = 200 , u1 = 1 , u2 = – 100 , u3 = 10 1 000

(2) .

Sens de variation : Si u0 > 0, la suite géométrique (un) est croissante si q > 1 et décroissante si 0 < q < 1 Remarque : si q = 1 alors pour tout naturel n, un = u0. La suite géométrique est constante.