Suites
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Suites numériques I – Généralités sur les suites1. Exemples préliminaires :
1er exemple : Au 1er janvier 2007, la population d’une ville est de 200 000 habitants. Notons la P0 . Des experts estiment que cette population doit augmenter de 4 000 habitants par an dans les années à venir. Notons Pn la population de la ville à l’année 2007+n. Donner P0 , P , P2 , P3 et Pn +1 en fonction de Pn . 1 Solution : Au 1er janvier 2007, la population est de P0 Au 1er janvier 2008, la population est de P 1 er Au 1 janvier 2009, la population est de P2 Au 1er janvier 2010, la population est de P3 Ainsi de suite… On a Pn + 1 = Pn + 4 0 0 0 2ème exemple : On suppose maintenant que la population augmente de 2% par an. Solution : Au 1er janvier 2007, la population est de P0 habitants, et P0 = 200000 Au 1er janvier 2008, la population est de P habitants, et 1
2 2 = P0 1 + 100 100 er Au 1 janvier 2009, la population est de P1 = P0 + P0 × = 1, 0 2 × P0 = 1, 0 2 × 2 0 0 0 0 0 = 2 0 4 0 0 0 P2 habitants, et
habitants, et habitants, et habitants, et habitants, et
P0 = 200000 P1 = P0 + 4 0 0 0 = 2 0 4 0 0 0 P2 = P1 + 4 0 0 0 = 2 0 8 0 0 0 P3 = P2 + 4 0 0 0 = 2 1 2 0 0 0
P2 = 1, 0 2 × P1 = 1, 0 2 × 2 0 4 0 0 0 = 2 0 8 0 8 0 Au 1er janvier 2010, la population est de P3 habitants, et P3 = 1, 0 2 × P2 = 2 1 2 2 4 2 Ainsi de suite… On a Pn+1 = Pn +
Pn + 1 2 Pn 100 = 1, 0 2 × Pn
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2. Définition d’une suite :
Une suite est une fonction de l’ensemble ℕ (ou d’une partie de ℕ ) dans ℝ . On écrit u n pour désigner l’image de n par la suite u . On note souvent ( u n ) ou u la suite en tant qu’objet mathématique. u n , sans parenthèses, désigne l’image de n par ( u n ) . C’est le terme d’indice n de la suite.
Exemples :
Soit la suite u de terme général u n = 2 n On a : u 0 = 0 , u 1 = 1, u 2 = 4 , u 3 = 6 ... Les termes de la suite u sont les entiers pairs. Soit la suite u