Suites num´riques e Z, auctore
4 octobre 2005

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Suites arithm´tiques e D´finition. Une suite de nombres (un )n∈N est arithm´tique lorsqu’il existe e e un nombre r tel que pour tout entier n on ait un+1 = un + r.

(1)

Ce nombre r est appel´ la raison de la suite. e Relations entre les termes. La suite (un )n est arithm´tique de raison r. e Alors on a
a) pour tout entier n un = u0 + n × r

(2)

un = uk + (n − k) × r.

(3)

b) pour tous entiers k ≤ n

Somme des termes successifs. Avec (un )n arithm´tique de raison r, e alors on a
a) ` partir du premier terme u0 jusqu’au rang n a u0 + u1 + u2 + · · · + un = (n + 1) ×

u0 + un
2

(4)

b) ` partir d’un terme de rang k jusqu’au rang n ≥ k a uk + uk+1 + uk+2 + · · · + un = (n − k + 1) ×

1

uk + un
2

(5)

Vade-mecum sur les suites

www.mathforu.com

Deux r´sultats remarquables. e – La somme des n premiers entiers cons´cutifs e 1 + 2 + 3 + ··· + n =

n × (n + 1)
2

(6)

– Trois nombres a, b et c sont dans cet ordre des termes cons´cutifs d’une e suite arithm´tique si, et seulement si e b=

2

a+c
2

(7)

Suites g´om´triques e e

D´finition. Une suite de nombres (vn )n∈N est g´om´trique lorsqu’il existe e e e un nombre q tel que pour tout entier n on ait vn+1 = vn × q.

(8)

Ce nombre q est appel´ la raison de la suite. e Relations entre les termes. La suite (vn )n est arithm´tique de raison q. e Alors on a
a) pour tout entier n vn = v0 × q n

(9)

vn = vk × q n−k .

(10)

b) pour tous entiers k ≤ n

Somme des termes successifs. Avec (vn )n g´om´trique de raison q, alors e e
a) ` partir du premier terme v0 jusqu’au rang n a v0 + v1 + v2 + · · · + vn = v0 ×

1 − q n+1
1−q

(11)

b) ` partir d’un terme de rang k jusqu’au rang n ≥ k a vk + vk+1 + vk+2 + · · · + vn = vk ×

2

1 − q n−k+1
1−q

(12)

Vade-mecum sur les suites

www.mathforu.com

Deux r´sultats remarquables. e – La somme