STATISTIQUES

I) Médiane et quartiles d'une série statistique quantitative a) Cas d'une série statistique discrète Dans ce cas, on dispose d'une famille de réels x1 ; x2 ; ... ; xN que l'on a rangé dans l'ordre croissant : x1  x2  ...  xN (Certains de ces réels peuvent être confondus) Vocabulaire : x1 s'appelle le terme de rang 1 (ou d'indice 1), xi le terme de rang (ou d'indice) i (1  i  N) N représente l'effectif total. On note (xi )1iN cette famille de réels qu'on appelle encore "série statistique". Exemples : L'élève A a obtenu les 8 notes suivantes : x1 = 5 x1 = 2 x1 = 6 x1 = 0 x2 = 5 x3 = 6 x4 = 9 x5 = 10 x6 = 12 x7 = 13 x8 = 13 x6 = 9 x7 = 9 x8 = 10 x9 = 10

L'élève B a obtenu les 9 notes suivantes : x2 = 3 x3 = 5 x4 = 6 x5 = 8

L'élève C a obtenu les 10 notes suivantes : x2 = 6 x3 = 10 x4 = 12 x5 = 12 x6 = 13 x7 = 14 x8 = 15 x9 = 16 x10 = 16 x4 = 4 x5 = 5 x6 = 8 x7 = 10 x8 = 12 x9 = 13 x10 = 16 x11 = 17

L'élève D a obtenu les 11 notes suivantes : x2 = 0 x3 = 1

Définition 1 Médiane On appelle médiane tout réel me tel que : au moins 50% des termes de la série ont une valeur inférieure ou égale à me et au moins 50% des termes de la série ont une valeur supérieure ou égale à me On prouvera, ci-dessous (théorème 1), qu'un tel réel existe toujours ! Remarque : la médiane partage l'ensemble des termes en deux sous ensembles de même effectif. (Enfin presque !) Exemples : Pour l'élève A (N = 8) : me = x4 = 9 (x5 = 10 conviendrait également ou, plus généralement, tout réel de [9 ; 10]) Pour l'élève B (N = 9) : me = x5 = 8 (et là, il n'y a pas d'autre choix possible) Pour l'élève C (N = 10) : me = 12,5 (ou tout réel de l'intervalle [x5 ; x6] = [12 ; 13]) Pour l'élève D (N = 11) : me = 8 (et là, il n'y a pas d'autre choix possible)

On constate que la détermination de la médiane est différente suivant que l'effectif total N est pair ou impair : · Lorsque l'effectif total N est impair, il n'y a pas de difficulté, la médiane me est le terme central,