La loi de Poisson
P. Boldini

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Introduction

La loi de Poisson est la loi des variables al´atoires qui comptent le nombre d’occurences d’un e ´v´nement rare. e e D’apr`s Wikip´dia : “le domaine d’application de la loi de Poisson a ´t´ longtemps limit´ e e ee e a celui des ´v´nements rares comme les suicides d’enfants, les arriv´es de bateaux dans un ` e e e port ou les accidents dˆs aux coups de pied de cheval dans les arm´es (´tude de Ladislaus u e e Bortkiewicz). Mais depuis quelques d´cennies son champ d’application s’est consid´rablement e e ´largi. Actuellement, on l’utilise beaucoup dans les t´l´communications (pour compter le nome ee bre de communications dans un intervalle de temps donn´), le contrˆle de qualit´ statistique, e o e la description de certains ph´nom`nes li´s ` la d´sint´gration radioactive (la d´sint´gration des e e e a e e e e noyaux radioactifs suivant, par ailleurs, une loi exponentielle de param`tre not´ aussi lambda), e e la biologie, la m´t´orologie, . . . .” ee

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Construction

Une des mani`res de construire cette loi est de montrer que les lois binomiales convergent (en e probabilit´) vers cette loi. e Consid´rons un ´v´nement E qui se produit en moyenne λ fois sur un intervalle [1, n] de e e e temps. Pour n fix´ on s’int´resse a la variable al´atoire e e ` e Xn = nombre d’occurences de l’´v´nement E durant la p´riode [1, n] e e e On sait que Xn suit une loi binomiale B(n, λ/n) de param`tre λ/n puisque la probabilit´ e e que l’´v´nement E se produise ` l’instant t est ´gale a la fr´quence de l’´v´nement E sur la e e a e ` e e e λ p´riode [1, n]. On remarque l’esp´rance de Xn , E(Xn ) = n n = λ, ce qui veut dire en effet que e e l’´v´nement E se produit en moyenne λ fois durant l’intervalle [1, n]. e e Maintenant on va regarder ce qui se passe lorsque n est tr`s grand, ce qui est une mani`re e e de dire que l’´v´nement E est rare, puisque sa fr´quence d’apparition en moyenne devient tr`s e e e e faible. Techniquement cel`