CHAPITRE 3
La Méthode de Simplexe

I. Introduction

On a présenté dans le chapitre précédent une procédure graphique pour résoudre un programme linéaire à deux variables. Par contre, dans la plupart des problèmes réels, on a plus que deux variables à déterminer. Une procédure algébrique pour résoudre les programmes linéaires avec plus que deux variables fera l’objet de ce chapitre. C'est la méthode de simplexe.

Une implémentation de cette procédure à permis de résoudre des programmes avec un peu plus de quelques milliers de variables. Le programme Lindo qu’on présentera dans le chapitre 7 (en version pour étudiant) supporte au plus 200 variables et 100 contraintes.

Dans ce chapitre la méthode de simplexe est présentée pour les problèmes et en utilisant le problème de l’agriculteur :

II. Mise sous forme standard

La mise sous forme standard consiste à introduire des variables supplémentaires (une pour chaque contrainte) de manière a réécrire les inégalités () sous la forme d'égalités. Chacune de ces variables représente le nombre de ressources non utilisés. On les appelle variable d'écart. La forme standard s'écrit donc : 
La forme standard du programme linéaire de l'agriculteur est : Max 100x1 + 200x2 (3.1) s. c x1 + x2 + S1 = 150 (3.2) 4x1 + 2x2 + S2 = 440 (3.3) x1 + 4x2 + S3 = 480 (3.4) x1 + S4 = 90 (3.5) x1, x2, S1, S2, S3, S4 0 (3.6)
L'impact de ces variables d'écart sur la fonction objectif est nulle. Ceci explique le fait que leur existence soit tout simplement liée à une mise en forme du programme linéaire initial. Ces variables d'écart peuvent prendre des valeurs nonnegatives. Le fait de donner la valeur des variables d'écart a l'optimum donne une idée du nombre des ressources non utilisées.

III. Revue algébrique de la méthode du simplexe

La question qui se pose : que demande-t-on d’une procédure algébrique ?

En premier lieu, on note que les contraintes du