‫اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‬

‫اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺳﻠﻚ ﺑﻜﺎﻟﻮرﻳﺎ ﻋﻠﻮم ﺗﺠﺮﻳﺒﻴﺔ‬ ‫‪ -I‬ﺗﻘﺪﻳﻢ‬

‫1- ﺗﺆدي دراﺳﺔ ﺑﻌﺾ اﻟﻈﻮاهﺮ اﻟﻔﻴﺰﻳﺎﺋﻴﺔ و اﻟﺒﻴﻮﻟﻮﺟﻴﺔ و اﻻﻗﺘﺼﺎدﻳﺔ و ﻏﻴﺮهﺎ إﻟﻰ ﻣﻌﺎدﻻت ﻳﻜﻮن ﻓﻴﻬﺎ‬ ‫اﻟﻤﺠﻬﻮل داﻟﺔ وﺗﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ ﻣﺸﺘﻘﺔ أو ﻣﺸﺘﻘﺎت هﺬﻩ اﻟﺪاﻟﺔ.‬

‫هﺬا اﻟﻨﻮع ﻣﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻻت ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ.‬
‫ﻳﺮﻣﺰ ﻋﺎدة إﻟﻰ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺠﻬﻮﻟﺔ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ‪ ) y‬وﻗﺪ ﻳﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺄي ﺣﺮف ﺁﺧﺮ ﻣﺜﻞ ‪(............. u , z , f‬‬ ‫ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﻳﻌﻨﻲ إﻳﺠﺎد ﺟﻤﻴﻊ اﻟﺪوال ‪ y‬اﻟﺘﻲ ﺗﺤﻘﻖ هﺪﻩ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ , و ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ هﺪﻩ اﻟﺪوال‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ، آﻞ ﻋﻨﺼﺮ ﻣﻦ هﺪﻩ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻳﺴﻤﻰ ﺣﻼ ﺧﺎﺻﺎ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ , آﻞ ﺣﻞ‬ ‫ﻳﺴﻤﻰ آﺬﻟﻚ ﺗﻜﺎﻣﻼ.‬ ‫2- أﻣﺜﻠﺔ‬ ‫أ(‬ ‫0 = ' ‪ y‬هﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ‬ ‫ﺑـ 1 = ) ‪ y ( x‬ﺣﻞ ﺧﺎص ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫اﻟﺪاﻟﺔ ‪ y‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪوال اﻟﺜﺎﺑﺘﺔ ﻋﻠﻰ هﻲ اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ 0 = ' ‪. y‬‬ ‫1 − 2 ‪ y ' = x‬هﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ذات اﻟﻤﺠﻬﻮل ‪ ) y‬ﻳﻤﻜﻦ أن ﻧﻜﺘﺐ 1 − ‪( y ' ( x ) = x‬‬ ‫ب(‬
‫2‬

‫.‬

‫ﺣﻠﻮل هﺬﻩ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ هﻲ اﻟﺪوال اﻷﺻﻠﻴﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ 1 − 2 ‪ x → x‬ﻋﻠﻰ‬ ‫أي اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم ﻟﻬﺬﻩ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ هﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪوال اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫→‪x‬‬

‫2 1‬ ‫ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪x − x + k‬‬ ‫3‬

‫ﺣﻴﺚ ‪ k‬ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ .‬ ‫‪ – II‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ 0=‪y´+ay‬‬ ‫1- اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ 0 = ‪ y '+ ay‬ﺗﺴﻤﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺗﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﺧﻄﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻷوﻟﻰ ) ﻷﻧﻬﺎ ﻻ ﺗﺘﻀﻤﻦ إﻻ‬ ‫اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ اﻷوﻟﻰ ﻟﻠﻤﺠﻬﻮل ‪ ( y‬ذات اﻟﻤﻌﺎﻣﻼت اﻟﺜﺎﺑﺘﺔ .‬ ‫* اذا آﺎن 0 = ‪ a‬ﻓﺎن 0 = ' ‪ y‬أي أن اﻟﺤﻞ اﻟﻌﺎم هﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺪوال اﻟﺜﺎﺑﺘﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫* اذا آﺎن 0 ≠ ‪a‬‬

‫‪ x → e‬ﺣﻞ ﺧﺎص ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ 0 = ‪y '+ ay‬‬

‫‪−ax‬‬

‫∈ ‪ ∀x‬ادن‬

‫‪(e ) ' = −ae‬‬
‫‪−ax‬‬

‫‪−ax‬‬

‫ﻧﻌﻠﻢ أن‬

‫ﻧﻀﻊ ‪y ( x ) = z ( x )e −ax‬‬
‫‪y ' ( x ) + ay ( x‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ y‬ﺣﻼ اﻋﺘﺒﺎﻃﻴﺎ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ 0 = ‪y '+ ay‬‬

‫وﻣﻨﻪ ‪y ' ( x ) = z ' ( x )e −ax − az ( x )e −ax‬‬

‫‪) = z ' ( x )e − ax‬‬

‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ 0 =‬

‫‪y ' ( x ) = z ' ( x )e − ax − ay ( x‬‬

‫)‬

‫أي‬

‫∈ ‪ ∀x‬ﺣﻴﺚ ‪ λ‬ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ‬

‫و ﻣﻨﻪ 0 = ) ‪ z ' ( x‬و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪z ( x ) = λ‬‬

‫∈ ‪ ∀x‬ﺣﻴﺚ ‪ λ‬ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ اﻋﺘﺒﺎﻃﻲ‬

‫اذن ‪y ( x ) = λe −ax‬‬
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬

‫ﻧﻼﺣﻆ أن اﻟﺤﺎﻟﺔ 0 = ‪ a‬هﻲ ﺿﻤﻦ اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ .‬

‫ﺑـ ‪x → λe −ax‬‬

‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ 0 = ‪ y