RESUME
A) SUITES DE FONCTIONS, CONTINUITE ET INTEGRATION

Théorème 0.1 (Continuité)
I est un intervalle de R, a ∈ I et (fn )n une suite de fonctions définies de I dans R telle que :
i) fn −→ f

CU (converge uniformément)

ii) ∀n ∈ N : fn continue en a
Alors : f est continue en a
Théorème 0.2 (généralisation)
(fn )n une suite de fonctions fn : [a, b] → R. On suppose :
i) fn −→ f

CU (converge uniformément) dans [a, b]

ii) ∀n ∈ N : fn continue dans [a, b]
Alors : f est continue dans [a, b]
Théorème 0.3 (CU et intégrabilité)
(fn )n une suite de fonctions fn : [a, b] → R. On suppose :
i) fn −→ f

CU (converge uniformément) dans [a, b]

ii) ∀n ∈ N : fn est intégrable dans [a, b]
Alors
j) f est intégrable dans [a, b]
∫ b
∫ b
∫ b jj) lim fn (t)dt = lim fn (t)dt = f (t)dt n→+∞ a

a n→+∞

a

Cas particulier : le théorème reste vrai si on remplace fn intégrable parfn continue dans [a, b]
Théorème 0.4 (corollaire)
Soit I un intervalle borné, a ∈ I et (fn )n une suite de fonctions de I :→ R. On suppose :
i) fn −→ f

CU (converge uniformément) dans I

ii) ∀n ∈ N : fn est localement intégrable dans I
∫ x
Soit Fn (x) = fn (t)dt, x ∈ I. Alors : a j) f est localement intégrable dans I ii) Fn −→ F

∫

CU (converge uniformément) où F (x) =

x

f (t)dt ; c’est-à-dire : a ∫ lim Fn (x) = lim

n→+∞

n→+∞ a

∫

x

fn (t)dt =

∫

x

x

lim fn (t)dt =

a n→+∞

f (t)dt = F (x) a Théorème 0.5 (théorème de DINI)
Soit fn : [a, b] → R une suite de fonctions vérifiant :
1. ∀n, fn est continue.
2. (fn )n converge simplement vers une fonction continue f : [a, b] → R.
3. ∀x ∈ [a, b] la suite réelle (fn (x))n est croissante : fn (x) ≤ fn+1 (x).
Alors (fn )n converge uniformément vers f
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O. Bouabdallah

Théorème 0.6 (théorème de convergence dominée)
Soit I un intervalle de R et fn : I → R une suite de fonctions telle que :
i) ∀n ∈ N : fn continue par morceaux ii) fn −→ f CS (converge simplement) et f continue par morceaux dans I iii) ∃φ : I → R+ continue par morceaux et intégrable sur I et