Récurrence et Sommations
La récurrence
Exercice 1
Démontrer par récurrence l'inégalité suivante appelée inégalité de Bernoulli
Exercice 2
Démontrer par récurrence que :
(c'est-à-dire s'écrit sous la forme avec
Exercice 3
Démontrer par récurrence que
Exercice 4
Démontrer par récurrence que
Exercice 5
Montrer que les deux propositions : sont héréditaires à partir de
Sont-elles vraies pour tout entier
Exercice 6
Démontrer que pour , le produit de entiers impairs est un entier impair.
Exercice 7
Montrer que Exercice 8
On définit une suite de la façon suivante :
1. Calculer pour .
2. Montrer que l'équation admet une unique solution positive que l'on calculera.
3. Montrer que, pour tout , on a Exercice 9
Montrer par récurrence que : Sommations
Exercice 10
Ecrire sans le symbole les expressions ci-dessous :

Exercice 11
Ecrire les sommes suivantes avec le symbole

Exercice 12 (Le principe des dominos).
Soient des nombres réels. A quoi est égale la somme ?
Démontrer ce résultat par récurrence. Exercice 13
Déterminer deux réels et tels que En déduire Exercice 14
On pose et
1) A l'aide du principe des dominos, calculer
2) Développer En déduire l'expression de en fonction de et de
3) En déduire que
Récurrence et sommations
Exercice 15
Montrer par récurrence les égalités suivantes :
Exercice 16
Montrer par récurrence les égalités suivantes : Exercice 17
Pour tout entier naturel , on pose
Démontrer que l'on a Exercice 18
Montrer que pour tout entier : Exercice 19
Montrer par récurrence que : et que Exercice 20
Montrer par récurrence que : Exercice 21
Montrer par récurrence que : Exercice 22
Pour et on pose
Montrer par récurrence que : Exercice 23
Montrer par récurrence que : Produits
Exercice 24
Pour , , trouver une formule simplifiant le produit : Exercice 25
Montrer par récurrence que : Exercice 26
Montrer que :