Classe de 1 S 3

Produit scalaire dans le plan. page 1 sur 3

Le plan est rapporté à un repère orthonormal  O , I , J 

y  y '

u v 1. Définition: Soit  x et  x ' deux vecteurs du plan. u v u v
Par définition on appelle produit scalaire des vecteurs  et  , on le note ⋅ , le nombre réel: u v
⋅ =x x '  y y ' u v
Si  = et  = alors le produit scalaire ⋅ correspond au calcul u OM v ON
1
 OM 2  ON 2 − MN 2  .
2
C'est donc un calcul algébrique d'aires.

Preuve  = donc M  x ; y  et OM 2 = x 2  y 2 u OM v ON
 =  donc N  x ' ; y '  et ON 2 = x ' 2  y ' 2 et MN 2 =  x ' − x  2   y ' − y 2 ainsi 1
1
 OM 2  ON 2 − MN 2 =  x 2  y 2  x ' 2  y ' 2 −   x ' − x 2   y ' − y 2  
2
2
1
=  x 2  y 2  x ' 2  y ' 2 −  x 2  2 xx '  x ' 2  y 2 2 yy '  y ' 2  
2
1
=  2 xx '  2 yy '  = xx '  yy ' = ⋅ u v
2
De façon générale dans le triangle ABC le produit scalaire   correspond au calcul :
AB⋅AC
1
 AB 2 AC 2−BC 2 
2

  = 1  AB 2  AC 2 − BC 2 
AB⋅AC
2
2. Règles opératoires u v w Soit  ,  et  trois vecteurs quelconques,  et  des réels, alors: u v v u
•
Par définition  .  =  .  le produit scalaire est commutatif. u v v u
.=.
• u v w
 .(  +  )=  .  +  .  u v u w
•
  ).  =  × (  .  ) u v u v u  .(   )=  × (  .  ) v u v
•
( et 2 u uu u
•
Par convention on écrit: ⋅ = (on lit carré scalaire de  )
 O ;  ;   ...
Preuve : dans un repère orthonormé i j

S. Baudet

classe de 1ère s3

Produit scalaire dans le plan.

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3. Norme d'un vecteur. u u
Définition : La norme d'un vecteur  est la distance de tout bipoint représentant de  , c'est u la « longueur » du vecteur  . On la note ∥u∥

x alors ∥∥=  x 2  y 2 et si  = alors ∥∥= AB
Si  u AB u u u y

Produit scalaire et notation norme.
D'après la proposition 1 on a:
1
u v u v u v
⋅