D’ après CCP 2006 -PSI première épreuve Notations.
Pour tout entier naturel n, on note : n! la factorielle de n avec la convention 0! = 1, [j0; nj] l’ ensemble des entiers naturels k véri…ant 0 n k k n,

le nombre de parties ayant k éléments d’ ensemble de n éléments, pour k 2 [j0; nj]. un

On rappelle : la valeur de n k = n! pour k 2 [j0; nj], k!(n k)! n n X1 1 =1+ + la somme k 2 k=1

En…n, si n est un entier naturel non nul, on note
0

+

1 et on pose n

= 0.

Objectifs.
Dans les parties I et II, on étudie un procédé de sommation. La partie III est consacrée à l’ étude de diverses fonctions et en particulier à une fonction applique ledit procédé de sommation. à laquelle on

Dans les parties I et II les notations utilisées sont les suivantes. Toute application de N dans C étant une suite complexe, si a est une telle suite, on utilise la notation usuelle a(n) = an . A toute suite complexe a, on associe la suite a dé…nie par : n 1 X n ak 8n 2 N; an = n 2 k=0 k

L’ objet des parties I et II est de comparer les propriétés de la série

Partie I : deux exemples.

X n 0

an aux propriétés de la série

X n 0

an .

1. Cas d’ une suite constante. Soit 2 C , on suppose que la suite a est constante dé…nie par 8n 2 N; an = . n X n 1. Montrer k k=0 n

= 2 pour n 2 N.

2. Expliciter an pour n 2 N. X X 3. La série an (resp. an ) est-elle convergente ? n 0 n 0

2. Cas d’ une suite géométrique. Soit z 2 C ; on suppose que la suite a est dé…nie par : 8n 2 N; an = z n . 1. Exprimer an en fonction de z et n.

2. On suppose que jzj < 1. Justi…er la convergence de la série Justi…er la convergence de la série 3. On suppose que jzj 1.

X n 0

X n 0

an et expliciter sa somme A(z) =

1 X an et expliciter sa somme an en fonction de A(z). n=0

1 X n=0

an .

Quelle est la nature (convergente ou divergente) de la série Quelle est la nature de X n 0

an si z =

2?

X n 0

an ?

On suppose z = ei , avec réel tel que 0