Problème de transport
Introduction
simple
Le problème de transport simple se rencontre lorsque l’on a
I.

•

Un bien homogène à transporter lieux de production de capacité de production Si connue

•

lieux de consommation de demande Dj connue

•

minimiser le coût total de transport sur le réseau.
Cij : le coût de fourniture d’une unité du producteur i au client j

•

•
•

Pas de nœuds d’interconnexion (seuls les nœuds d’entrée et les nœuds de sortie)



Choix des variables :

on appelle xij la quantité transportée entre le nœud i et le noeud j, pour tout couple (i, j) de U, l’ensemble des arcs du réseau.


Coût de transport :

L’objectif est donc la minimisation des coûts de transport entre les nœuds d’entrée et les noeuds de sortie. Seuls ces arcs ont un coût associé dij.
L’objectif se formule donc comme :

z min

d

x

ij ij

( i , j )U

A est l’ensemble des arcs de transport (correspondant au réseau
”ouvert” obtenu sans considérer le noeud d’entrée et le noeud de sortie).


Demande :

Il est évident que si transporter du flot coûte, on va, à la solution optimale, tout juste satisfaire la demande en chaque noeud de demande

x

ij

D j

j  N d

i /( i , j )U

Supposons que l’offre totale soit égale à la demande globale, autrement dit que

S

i

iN s

  Dj jN d

Remarque : en général le problème soit réalisable, il faut bien sur que l’offre totale permette de satisfaire la demande totale

S D i iN s

j

jN d

On peut, en effet, se ramener au cas d’égalité en ajoutant un nœud de demande supplémentaire auquel on attribut l’excédent d’offre sur la demande chaque arc d’entrée doit également être utilisé à pleine capacité et nous aurons semblablement que

x

ij j /( i , j )U

S j

j  N s

formulation
On voit donc qu’avec les hypothèses faites dans le cas du réseau de transport simple, les flux circulant sur les arcs entrant et sortant sont connus
`a priori. Les seules inconnues du problème sont les flux xij dans les arcs de transport. On a