I - Conditionnement
Définition
A et B étant deux évènements tels que p(A)≠0, la probabilité de B sachant A est le nombre réel : pA(B)=p(A ∩ B)p(A)
Remarques
On note parfois p(B/A) au lieu de pA(B)
Rappel : Le signe ∩ (intersection) correspond à "et"
De même si p(B)≠0, la probabilité de A sachant B est pB(A)=p(A ∩ B)p(B)
Exemple
Une urne contient 3 boules blanches et 4 boules rouges indiscernables au toucher. On tire successivement 2 boules sans remise
On note :
B1 l'évènement "la première boule tirée est blanche"
B2 l'évènement "la seconde boule tirée est blanche" la probabilité pB1(B2) est la probabilité que la seconde boule soit blanche sachant que la première était blanche. Pour la calculer, on se place dans la situation où l'on se trouve après avoir obtenu une boule blanche au premier tirage. Il reste alors 6 boules dans l'urne; 2 sont blanches et 4 sont rouges.
La probabilité de tirer une boule blanche au second tirage est donc : pB1(B2)=26=13 Cette probabilité se place sur l'arbre de la façon suivante :

On peut calculer de même pB1(B2) est la probabilité que la seconde boule soit blanche sachant que la première était rouge. Il reste alors 3 boules blanches et 3 boules rouges après le premier tirage donc : pB1(B2)=36=12 et on peut compléter l'arbre :

Propriété
De la définition précédente, on déduit immédiatement que : p(A ∩ B)=p(A)×pA(B)
Remarque
Attention à ne pas confondre : p(A ∩ B) qui est la probabilité que A et B soient réalisés alors qu'on ne possède aucune indication sur la réalisation de A ou de B pA(B) qui est la probabilité que B soit réalisé alors qu'on sait déjà que A est réalisé
Exemple
Si l'on reprend l'exemple précédent, la probabilité de tirer 2 boules blanches est p(B1 ∩ B2) (il faut que la première boule soit blanche et que la seconde boule soit blanche).
D'après la formule précédente : p(B1 ∩ B2)=p(B1)×pB1(B2)=37×13=17
II - Formule des probabilités totales
Définition
On dit que les évènements A1, A2, . . . , An forment une partition