Calculabilit´ e
Pascal Manoury 17 octobre 2007
Donner une id´e de la notion de «calculable» ; montrer d’ind´cidabilit´ du probl`me de l’arrˆt. e e e e e «Calculabilit´» (en anglais «computability») est le terme choisi par A. Turing pour recouvrir les notions e de «m´canicit´» et d’«effectivit´» des processus de calcul et de preuve en math´matique qu’il ´tudia et pr´cisa e e e e e e dans son article de 1936 («On Computable Numbers With an Application to the Entscheidungsproblem») en d´finissant ses fameuses «Logical Computing Machines» connues aujourd’hui sous le nom de «machines de e Turing». Pour A. Turing, est «calculable» ce qui l’est par ses machines. De son cˆt´, A. Church proposait un oe autre mod`le de calcul bas´ sur un formalisme de notation des fonctions math´matiques : le «λ-calcul» (lire e e e «lambda calcul»). Tous deux montr`rent que l’ensemble des fonctions calculables selon leurs mod`les co¨ e e ıncide avec l’ensemble des «fonctions r´cursives g´n´rales» ´labor´ par J. Herbrand/K. G¨del/W. Ackermann. e e e e e o L’´quivalence des mod`les renforce le bien fond´ du concept de «calculabilit´» et laisse ` penser que celuie e e e a ci a ´t´ correctement cern´ : c’est la «th`se de Church-Turing». On dispose donc d’un moyen d’effectuer tous ee e e les calculs possibles, mais cela ne signifie par pour autant que tout est calculable : au contraire, il y aura toujours un calcul que la machine ne saura faire. Nous introduisons dans cette note la notion de calculabilit´ en en donnant deux mod`les : les fonctions e e r´cursives g´n´rales et les «machines ` registres illimit´s» qui sont un mod`le de calcul plus r´cent et plus e e e a e e e proche des «machines ` calculer» que sont les ordinateurs contemporains que ne le sont les machines de a Turing. Nous montrons l’´quivalence des deux mod`les propos´s. Nous prouvons bri`vement en fin de note e e e e que la solution du probl`me de savoir si un programme (pour une machine ` registre) est susceptible de e a boucler