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14/11/2010

Complexité de Kolmogorov - Wikipédia

Complexité de Kolmogorov
La complexité de Kolmogorov (nommée d'après le mathématicien Andreï Kolmogorov), nommée aussi complexité aléatoire, ou complexité algorithmique, est une fonction (plus précisément un ensemble de fonctions) permettant d'évaluer la complexité de calcul d'un nombre ou d'une suite.

Sommaire
1 Présentation informelle 2 Propriétés 3 Voir aussi 3.1 Articles connexes 3.2 Références

Présentation informelle
Considérons une machine informatique M pouvant exécuter des programmes. On dit que cette machine est universelle lorsqu’elle peut émuler n'importe quelle autre machine informatique. La machine de Turing universelle en est un exemple. On note PM l'ensemble des programmes écrits pour la machine M. Pour un programme , on note l(p) sa longueur en nombre d’instructions pour la machine M et s(p) sa sortie. La complexité de Kolmogorov KM(x), ou complexité algorithmique, d’une suite x = (xi)i pour une machine M est déﬁnie par : . C’est donc la longueur du plus petit programme écrit pour la machine M qui génère la suite x. Une suite constante a une complexité faible car les programmes qui la génèrent peuvent être très courts. Reste à savoir dans quelle mesure la fonction KM(x) dépend de la machine M, car on peut tout à fait imaginer une machine possédant des instructions simples pour générer certaines suites complexes. La réponse est la suivante : il existe une machine universelle U (souvent qualifiée d'additivement optimale) telle que pour toute machine M il existe une constante cM vérifiant pour toute suite x l'inégalité

Intuitivement, cM est la longueur d'un interpréteur (ou d'un émulateur), écrit pour la machine U, du langage utilisé par la machine M. On parle alors d’universalité de la complexité de Kolmogorov, en ce sens qu'elle ne dépend pas, à une constante additive près, de la machine considérée. Une suite peut alors être considérée comme d’autant plus « aléatoire » que sa

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