Diviseur communs.

DéfinitionOn appelle diviseurs communs à a et b, les nombres entiers qui divisent à la fois a et b. ExempleDiviseurs communs à 36 et 48Diviseurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36Diviseurs de 48 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48Diviseurs communs à 36 et 48 : 1, 2, 3, 4, 6, 12 DéfinitionLe PGCD de deux nombres entiers a et b, est le Plus Grand Diviseur Commun de a et b. ExempleDiviseurs communs à 12 et 18Diviseurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 12Diviseurs de 48 : 1, 2, 3, 6, 9, 18Le plus grand des diviseur commun à 12 et 18 est 6

Détermination du PGCD

Algorithme de différence On effectue la soustraction du plus grand par le plus petit, puis on remplace le plus grand par la différence, et on recommence jusqu'à ce que la différence soit nulle. Le PGCD est, alors, le dernier résultat non nul. ExempleDéterminer le PGCD des nombres 12 et 2828 – 12 = 1616 – 12 = 412 – 4 = 88 – 4 = 44 – 4 = 0Le dernier résultat, non, nul est 4, donc PGCD(12 ; 28) = 4

Algorithme d'Euclide
On effectue la division euclidienne du plus grand nombre par le plus petit et on recommence avec le diviseur et le reste, jusqu'à ce que le reste soit nul. Le PGCD, est, alors, le dernier diviseur. ExempleDéterminer le PGCD de 360 et 128Le dernier diviseur, non nul, est 8, donc PGCD (360 ; 128) = 8

Nombre premiers entre eux.
DéfinitionDeux nombres entiers sont dits premiers entre eux (ou étrangers) si leur PGCD est égal à 1. ExemplesLes nombres 25 et 48 sont-ils premiers entre eux?PGCD (48 ; 25) = 1, donc les nombres 25 et 48 sont premiers entre eux.Les nombres 34 et 51 sont-ils premiers entre eux?PGCD (34 ; 51) = 17, donc les nombres 25 et 48 ne sont pas premiers entre eux. Propriété Une fraction est irréductible, si le PGCD du numérateur et du dénominateur est égal à 1. Si ce n'est pas le cas, la fraction est simplifiable par le PGCD. Exemples
La fraction est elle irréductible ? PGCD (48 ; 25) = 1, donc la fraction est irréductible.La fraction