Licence de Physique Chimie S5
Ann´ee 2014-2015

Universit´e Paris-Sud

Partiel de M´ ecanique quantique
Lundi 27 Octobre 2014 dur´ee : 2 heures

Calculatrices et documents de cours-TD interdits.
La qualit´e de la r´edaction sera prise en compte dans la note.

Questions de cours
On consid`ere une particule de masse m plong´ee dans un potentiel V (x) ind´ependant du temps. On note ψ(x, t) sa fonction d’onde.
1. Quelle est la densit´e de probabilit´e p(x) associ´ee `a la pr´esence de la particule en x ?
´
2. Ecrire l’´equation de Schr¨odinger d´ependant du temps pour la particule.
3. Montrer que l’on peut rechercher une solution sous la forme ψ(x, t) = ϕ(x)e−iEt/ `a condition que E et ϕ(x) soient solution de l’´equation de Schr¨odinger stationnaire dont on red´emontrera l’expression.
4. On suppose que l’´equation de Schr¨odinger stationnaire a pour solutions l’ensemble
´
{ϕn (x), En }. Ecrire la solution g´en´erale de l’´equation d´ependant du temps en introduisant des coefficients cn traduisant l’´etat initial comme superposition des ϕn (x).
5. Exprimer la valeur moyenne x et celle x2 sous forme d’une int´egrales puis rappeler la d´efinition de l’´ecart-type ∆x.
6. Rappeler la relation d’incertitude d’Heisenberg portant sur ∆x et ∆p l’´ecart-type en impulsion. 1

Puits infini
On consid`ere une particule de masse m est soumise `a un potentiel tel que V (x) = ∞ si x < 0 ou x > a et V (x) = 0 si x ∈ [0, a], r´egion correspondant au puits.

7. Repr´esenter le potentiel sur un graphe. Que valent la fonction d’onde et sa d´eriv´ee en dehors du puits ?
´
8. Ecrire l’´equation de Schr¨odinger stationnaire `a l’int´erieur du puits. Sous quelle forme g´en´erale rechercher ses solutions ? On notera k leur vecteur d’onde et on donnera son expression en fonction de E, m et .
9. Donner les conditions aux limites satisfaites par les solutions.

10. En d´eduire les vecteurs d’onde possibles kn que l’on indicera par un entier n dont on justifiera les valeurs possibles.
11. Montrer