© 2011 Université de Savoie, contact : Richard Taillet, Richard.Taillet@univ-savoie.fr version 1.0
PHYS 111 – Mécanique
Exercice 3-3 : Parabole de sûreté
Difficulté :
On intègre une première fois par rapport au temps, où et désignent des constantes d’intégration. On les dé- termine grâce à la condition initiale sur la vitesse, on sait qu’à
,
et donc et , soit
On intègre de nouveau pour avoir la position, où et sont des constantes d’intégration. On sait qu’à , le projectile se trouve au point O, de coordonnées (0,0), on …afficher plus de contenu…

L’intensité du champ de pesanteur est constante.
1. Calculer à l’instant , les coordonnées du point . En déduire l’équation de la trajectoire.
2. Déterminer la portée maximale du tir quand on fait varier l’an- gle en gardant la norme du vecteur vitesse constante.
3. Déterminer l’altitude maximale qui peut être atteinte par le tir, toujours à vitesse constante.
4. En supposant encore la norme de constante mais l’angle variable, trouver l’équation de la courbe dans le plan sé- parant les points pouvant être atteints de ceux qui ne le seront jamais. Énoncé
Choix du système étudié : la masse …afficher plus de contenu…

En reportant cette valeur dans la trajectoire, on trouve l’altitude au sommet de la trajectoire parabolique
Ne soyons pas effrayé par cette expression, elle se simplifie, puis en réutilisant , soit finalement
Cette altitude est maximale lorsque le sinus vaut 1, pour
(tir à la verticale),
4. Soit un point de coordonnées . Ce point peut-il être atteint par un lancer à la vitesse ? Cette question revient à se demander s’il existe une valeur de pour laquelle l’équation est vérifiée, et étant fixés. En remarquant que l’équation à résoudre s’écrit où l’inconnue est ou mieux, . C’est une équation du se- cond degré en , récrivons-là de manière plus explicite,
Elle n’a de solution que si le discriminant est positif,
Il faut donc que
Ceci est l’intérieur d’une parabole qu’on appelle parabole de