De la transformée de Fourier à la transformée en ondelettes continue
Dans la suite un signal est une fonction de temps t -> f (t) à valeurs numériques.
Définition : La transformée de Fourier est une application linéaire, bijective, bicontinue de L² (R) dans L² (R), fonctions de carré sommable f -> ^f définie par ^f(w) = Rfte-iwtdt
La transformation réciproque est telle que f(t)= 1/2π ^f(w) e-iwtdw

a) La transformation de Fourier est qualifiée pour l’étude des signaux stationnaires (imprévus statistiquement prévisibles : loi de probabilités des évènements invariants dans le temps) b) Lorsque f est T-périodique, les ^f(w) sont nuls sauf pour w multiple de 2 π /T (w E 2 π /T Z)
Cependant, la transformée de Fourier contient quelques inconvénients :

1) Si le signal est non stationnaire, on ne peut pas calculer l’intégrale pour les temps t futurs. 2) Si le support de f (= domaine fermé en dehors duquel f est nulle) est « étroit », le support de^f est large.

Principes d’approximation
On recherche des bases orthogonales dans L²(R) noté (bn(t)) nEZ dans lesquelles un signal f aura des coefficients fn ; une approximation de f s’écrira
│n│≤Nfnbn avec N à choisir

N pourra être « petit » si les fn tendent vers 0 « assez vite »
Exemples :

a) sinc(π/a ( t-na)) ; n E Z , base de L²(R)

b) 1/2 πeinx ; n E Z, base de L²p (0, 2π) ( fonctions 2 π périodiques de carrés sommables)

Transformée de Fourier rapide
Temps de calcul en 0(N log2N) par Caoley Tuckey (1963) où N est le nombre de coefficients utilisés pour décrire f.
Formules (en échantillonnant avec une période T=1 et en discrétisant en fréquences multiples de 1/N)
FFT : ^fD(k) =n=0N-1fxw^(nk), où w=e-i2π /N , k=0,1,…,N-1
FFT inverse : f(x) = 1/N k=0N-1^fDxw^(-nk), x=