COURS DE MATHEMATIQUES Fichier .pdf du cours en vid´o du mˆme nom e e

Les int´grales e
Propri´t´s e e
Ce cours porte exclusivement sur les propri´t´s relatives a l’int´gration ee ` e des fonctions r´elles. e

1

L’id´e g´n´rale e e e

L’int´grale d’une fonction correspond a l’aire d´limit´e par sa courbe e ` e e repr´sentative, l’axe des abscisses, et deux bornes (deux abscisses). e Si par exemple calculer la distance parcourue par un v´hicule qui roule a e ` vitesse constante est simple, calculer la distance parcourue par un v´hicule e qui roule a vitesse variable s’av`re moins ´vident et n´cessite de recourir au ` e e e calcul int´gral. e

1

2
2.1

La th´orie e
L’existence

Soient a et b deux r´els. e Toute fonction continue sur l’intervalle [a; b] admet une int´grale sur cet ine tervalle.

2.2

Les propri´t´s e e

Soient f et g deux fonctions r´elles d´finies et continues sur un intervalle e e I. Soient a, b et c trois r´els de I. e Les propri´t´s relatives a l’int´gration des fonctions r´elles sont rassembl´es ee ` e e e dans la liste suivante : – la nullit´ e a f (x)dx = 0 a – l’oppos´e e b a a

f (x)dx = −

f (x)dx b – la relation de Chasles b c c

f (x)dx + a b

f (x)dx = a f (x)dx

2

– la somme b b b

[f (x) + g(x)]dx = a a

f (x)dx + a g(x)dx

– la constante ind´pendante e b b

soit k une constante, a kf (x)dx = k a f (x)dx

– la comparaison b b

lorsque f (x) ≤ g(x) sur [a; b],

a

f (x)dx ≤

g(x)dx a 3

Attention !
Avant de calculer l’int´grale d’une fonction, il faut absolument : e – d´terminer son ensemble de d´finition ; e e – v´rifier que la fonction consid´r´e est continue sur cet intervalle ; e ee – v´rifier que les bornes de l’int´grale appartiennent a cet intervalle. e e `

3

4
4.1

Exercices pratiques
Exercice 1

Soit f une fonction d´finie et continue sur [a; b]. Soient α et β deux r´els e e de l’intervalle [a; b]. D´terminer la somme