Le modèle a été analysé par A. Cournot en 1838. Soit un terrain sur lequel jaillissent deux sources d'eau minérale. Ce terrain est partagé équitablement entre deux propriétaires. Les producteurs d'eau minérale songent à exploiter la source de concert, comme s'ils ne formaient qu'un monopole. le coût d'exploitation de chaque source s'élève à [pic] où q est le nombre de litres (milliers) d'eau embouteillée. Si le monopole décide de vendre une quantité Q d'eau minérale, le prix p(Q) auquel cette quantité pourra être écoulée auprès de la multitude d'acheteurs est donné par l'expression [pic]
Supposons que les agents connaissent le lien existant entre le prix de vente et la quantité qui peut être écoulée à ce prix; ils connaissent la relation précédente.
On cherche à connaître leurs profits de monopole, sachant qu'ils essaient de les maximiser. Le profit est donné par l'expression [pic], à condition que la production Q soit répartie entre les deux branches de la source.
La quantité QM conduisant au profit le plus élevé est celle qui rend maximale l'expression précédente par rapport à Q. On trouve [pic]. le profit correspondant , en remplaçant QM en remplaçant QM dans l'expression précédente est égal à [pic]. le profit est strictement positif, le prix de vente est p(QM) = pM = 3/5
Le duopole
Supposons maintenant qu'une stratégie anti-trust ait imposé à la firme de se scinder en deux parties égales, chacune conservant une source. La structure du marché change: le marché devient un duopole. Quelles quantités q1 et q2 les deux firmes doivent-elles choisir de vendre afin de maximiser leur profit? L'équilibre concurrentiel non coopératif résulte des stratégies des deux agents. Dans ce cas, aucune des firmes n'accepterait de produire une quantité supérieure à 1 car alors le prix serait nul et donc le profit aussi [pic] et [pic]
Si la première firme choisit d'écouler une quantité q1et la seconde une quantité q2 , le prix de vente p(q1 ,q2) est