Mathématiques 3 Mathématiques 3
(séance 7 )
Mathématiques 3
(séance 7 )
Naila Hayek
Université Panthéon-Assas, Paris 2Mathématiques 3
(séance 7 )
Matrice d’une application linéaire
I Soit E un espace vectoriel de dimension n et BE = {~e1, ...,~en} une base de E .
I Soit F un espace vectoriel de dimension m et BF = {~f1, ...,~fm} une base de F .
I Soit ϕ : E −→ F une application linéaire.
Pour tout i = 1, ...,n, on note a1i, ..,ami les composantes du vecteur ϕ(~ei) dans la base {~f1, ...,~fm} de …afficher plus de contenu…

On résout alors le système

a11 +a31 = 1 a21 +a31 = 1 a11 +a21 +a31 =−1Mathématiques 3
(séance 7 ) ce qui donne a11 =−2, a21 =−2, a31 = 3. On a donc ϕ(1,0) = (1,1,−1) =−2~f1−2~f2 +3~f3
Remarque : On aurait pu appliquer directement le résultat de l’exemple page 15 du document séances 1-2.
De même pour ϕ(0,1) = (1,−1,1) = a12~f1 +a22~f2 +a32~f3 on trouve ϕ(0,1) = (1,−1,1) = 2~f1 +0~f2−1.~f3
Ayant : ϕ(1,0) = (1,1,−1) =−2~f1−2~f2 +3~f3 ϕ(0,1) = (1,−1,1) = 2~f1 +0~f2−1.~f3 on obtient la matrice A dans les bases choisies
A =
 −2 2
−2 0
3 −1
Mathématiques 3
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b) Même question quand on choisit la base canonique de …afficher plus de contenu…

On note
A = A(m,n) = (aij) i=1,...,m j=1,...,n =

a11 ... a1j ... a1n
. . . .
. . . .
. . . . ai1 ... aij ... ain
. . . .
. . . .
. . . . am1 ... amj ... amn

aij est le nombre situé à la i-ième ligne et j-ième colonne de la matrice A.Mathématiques 3
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Exemples
A =
 −2 1
8 −3
1 3
 est une matrice (3,2),
A =
 −2
−3
5
 est une matrice (3,1)
A