GENERALITES SUR LES SUITES

Dès l'Antiquité, Archimède de Syracuse (-287 ; -212), met en œuvre une procédure itérative pour trouver une approximation du nombre . Il encadre le cercle par des polygones inscrits et circonscrits possédant un nombre de côtés de plus en plus grand. Par ce procédé, Archimède donne naissance, sans le savoir, à la notion de suite numérique.
Vers la fin du XVIIe siècle, des méthodes semblables sont utilisées pour résoudre des équations de façon approchée pour des problèmes de longueurs, d'aires, …
Un formalisme plus rigoureux de la notion de suite n'apparaitra qu'au début du XIXe siècle avec le mathématicien français Augustin Louis Cauchy (1789 ; 1857) – ci-contre.

I. Définition et représentation graphique

1) Définition d'une suite numérique

Exemple d'introduction :
On considère une liste de nombres formée par tous les nombres impairs rangés dans l'ordre croissant : 1, 3, 5, 7, …
On note (un) l'ensemble des "éléments" de cette suite de nombres tel que : u0 = 1, u1 = 3, u2 = 5, u3 = 7, …
On a ainsi défini une suite numérique.
On peut lui associer une fonction définie sur par u :

Définitions : Une suite numérique (un) est une liste ordonnée de nombres réels telle qu'à tout entier n on associe un nombre réel noté un. un est appelé le terme de rang n de cette suite (ou d'indice n).

2) Suite définie par une formule explicite

Exemples :
- Pour tout n de , on donne : qui définit la suite des nombres pairs.
Les premiers termes de cette suite sont donc : u0 = 2 x 0 = 0, u1 = 2 x 1 = 2, u2 = 2 x 2 = 4, u3 = 2 x 3 = 6.

- Pour tout n de , on donne : .
Les premiers termes de cette suite sont donc : v0 = = -1, v1 = = 2, v2 = = 11, v3 = = 26.

Lorsqu'on génère une suite par une formule explicite, chaque terme de la suite est exprimé en fonction de n et indépendamment des termes précédents.

3) Suite définie par une relation de récurrence

Exemples :

- On définit la