EXERCICE 1 (5 points )
(Commun à tous les candidats)
→
−
On considère une droite D munie d’un repère O, i .
Soit (An ) la suite de points de la droite D ainsi définie :
• A0 est le point O ;
• A1 est le point d’abscisse 1 ;
• pour tout entier naturel n, le point An+2 est le milieu du segment [An An+1 ].
1. a. Placer sur un dessin la droite D, les points A0 , A1 , A2 , A3 , A4 , A5 et A6 .
On prendra 10 cm comme unité graphique.
b. Pour tout entier naturel n, on note an l’abscisse du point An .
Calculer a2 , a3 , a4 , a5 et a6 . an+1 + an
c. Pour tout entier naturel n, justifier l’égalité : an+2 =
.
2
1
2. Démontrer par récurrence, que pour tout entier n, an+1 = − an + 1.
2
2
3. Soit (vn ) la suite définie, pour tout entier naturel n, par vn = an − .
3
1
Démontrer que (vn ) est une suite géométrique de raison − .
2
4. Déterminer la limite de la suite (vn ), puis celle de la suite (an ).

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BACCALAUREAT GENERAL
Session de juin 2011
MATHEMATIQUES
- Série S Enseignement Obligatoire
Centres étrangers

EXERCICE 1
1) a) Représentation graphique.
A0
0

1
(a0 + a1 ) =
2
1
1
(a1 + a2 ) =
2
2
1
1
(a2 + a3 ) =
2
2
1
1
(a3 + a4 ) =
2
2
1
1
(a4 + a5 ) =
2
2

b) • a2 =
• a3 =
• a4 =
• a5 =
• a6 =

A2
→
− i 1
1
(0 + 1) = .
2
2
1
3
1+
= .
2
4
1 3
5
= .
+
2 4
8
3 5
11
=
+
.
4 8
16
5 11
21
+
=
.
8 16
32

A4 A5 A3

A1
1

A6

a+b
. Donc, pour tout
c) Si A et B sont deux points d’affixes respectives a et b, l’affixe du milieu du segment [AB] est
2
an + an+1 entier naturel naturel n, an+2 =
.
2
1
2) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, an+1 = − an + 1.
2
1
• − a0 + 1 = 1 = a1 et donc l’égalité est vraie quand n = 0.
2
1
1
• Soit n 0. Supposons que an+1 = − an + 1. Alors − an = an+1 − 1 puis an = −2an+1 + 2. Par suite,
2
2 an+2 =

1
1
1
1
(an + an+1 ) = (−2an+1 + 2 + an+1 ) = (−an+1 + 2) = − an+1 + 1.
2
2
2
2

On a montré