Sections planes de surfaces

I Cylindre d'axe Oz

Propriété (voir démonstration 01)

Un cylindre d'axe Oz et de rayon R a pour équation x2 + y2 = R2

Sa section avec un plan P d'équation z = k (parallèle à xOy) est le cercle d'équation x2 + y2 = R2 (dans le plan P)

Sa section avec un plan Q d'équation y = k (parallèle à xOz) est :
( si | k | > R : l'ensemble vide
( si | k | = R : la droite d'équation x = 0 (dans le plan Q)
( si | k | < R : les droites d'équations x = et x = - (dans le plan Q)

Sa section avec un plan H d'équation x = k (parallèle à yOz) est :
( si | k | > R : l'ensemble vide
( si | k | = R : la droite d'équation y = 0 (dans le plan H)
( si | k | < R : les droites d'équations y = et y = - (dans le plan H)

Exercice 01

On considère le cylindre d'équation x2 + y2 = 25
1°) a) Déterminer les intersections respectives de ce cylindre avec les plans d'équations x = 4 ; x = - 5 ; x = 7 b) Représenter sur le dessin ci-contre l'origine O du repère, les axes Ox, Oy, Oz et les intersections définies dans la question a).
2°) On considère le plan P d'équation x = k avec -5 £ k £ 5. Déterminer l'intersection du cylindre avec le plan P
3°) Soit k ∈ [-5 ; 5]. On considère les droites Dk d'équations )) et les droites D'k d'équations )) Montrer que les droites Dk et D'k sont contenues dans le cylindre. Montrer que le cylindre est la réunion de toutes les droites Dk et D'k lorsque k décrit [-5 ; 5].

Exercice 02

Déterminer l'équation du cylindre d'axe Oz passant par le point A de coordonnées ( 3 ; -2 ; 5 ).
Ce cylindre passe-t-il par le point B( 1 ; 2 ; -1) ? par C(- ; 2 ; 0) ? par D( ; 2 ; ) ?

Exercice 03

Donner l'équation du cylindre d'axe Oz contenant la droite D d'équation .

Exercice 04

On considère, dans l'espace rapporté au repère orthonormal (O;);i),);j),);k)) , les points Mt de