FONCTIONS SECOND DEGRE I) Activités voir exercices

II) Définitions 1) Forme développée Soit f une fonction définie sur R.

On dit que f est une fonction polynôme du second degré , si et seulement si il existe des réels a, b, c avec a # 0 tels que pour tout réel x : f(x) = ax² …afficher plus de contenu…

8-4-4 =0. Done 2 est une racine de P(x).

On dit que P(r) est mis sous forme factorisée si on peut l’écrire P(x) = a(a# - 2 )(x- 2), od 21 et 2 sont deux réels (éventuellement égaux).
THEOREME
: Soit P(x) = ax² + bx + c un polynôme du second degré défini sur R avec a, b, c des réels et a # 0. Si P(x) admet deux racines m et p (éventuellement égales), alors on a : m + p = – b/a et mp = c/a. DEMONSTRATION Si 2 et 2r2 sont les racines de P(x), alors pour tout réel x, on a P(x) = a(x -:1)(x - 2x2).

Done P(x) = a(x? - 2x2 ~<a, +2129) = ax* - a(x +22)2 + ary22.

Or pour tout réel x, on a aussi P(x) = ax? + br +c.

La forme développée d’un polynéme étant unique, par identification, on a done …afficher plus de contenu…

Soit x1 +22 =

= Hales +12) ot

Autre forme possible d’un polynôme du second degré : La forme canonique

3) Forme canonique : Propriété et définition

Soit f une fonction polynôme du second degré définie sur R par f(x) = ax² + bx + c, avec a, b, et c des réels et a #0. Alors pour tout réel x : f(x) = a( x – α)² + β, avec α = – b/2a et β= f(α). Cette écriture est appelée la forme canonique de f Exemple
Déterminer la forme canonique de 32? + 6x + 1.
Déterminer la forme canonique de ~4z + 54 - 2.
DEMONSTRATION
Soit f(x) = ax? + bx +¢ un polynome du second degré avec a, b et ¢ des réels et a + 0.
Pour tout réel 2, on a: f(x) = ax? +br+e

ee wo

(x)= lez) -( -