, correction libanCORRECTION DU BAC 2007
Terminale S Liban

Exercice 1 1) a) ln x = 0 ⇔ x = 1 ; ln x > 0 ⇔ x > 1 étant strictement croissante sur ]0 ; + ∞[ ).

;

ln x < 0 ⇔ x < 1 (la fonction ln

1 − ln x = 0 ⇔ lnx = 1 ⇔ x = e ; 1 − ln x < 0 ⇔ lnx > 1 ⇔ x > e ; 1 − ln x > 0 ⇔ lnx < 1 ⇔ x < e (la fonction ln étant strictement croissante sur ]0 ; + ∞[ ). On en déduit le tableau de signes suivant :

x signe de ln x signe de 1 − ln x signe de ln x )(1 − ln x ) (

0

1

e
+ +

+∞

−
+

0

+ 0 +

0

− −

−

0

b) Pour étudier la position relatives des courbes C et C’ sur ]0 ; + ∞[ , il suffit d’étudier le signe de f ( x ) − g ( x ) sur cet intervalle.
2

Or f ( x ) − g ( x ) = ln x − ( ln x ) = ( ln x )(1 − ln x ) ; alors on en déduit, d’après la question précédente que :

• sur ]0 1[ ∪ ]e ; + ∞[ , la courbe C est en dessous de C’ ; • sur ]1 e[ , la courbe C est au dessus de C’ ; • si x = 1 et x = e , les courbes C et C’ se coupent.
2) a) La fonction ln est dérivable sur ]0 ; + ∞[ et la fonction x ֏ x 2 est dérivable sur R,

alors la fonction g est dérivable sur ]0 ; + ∞[ en tant que composée de deux fonctions dérivables. Donc, la fonction h est dérivable sur ]0 ; + ∞[ en tant que somme de deux fonctions dérivables sur ]0 ; + ∞[ .

1 1 1 − 2ln x 2 −1 − 2 × × ( ln x ) = . x x x Comme x est strictement positif, alors le signe de h′ ( x ) dépend de celui de (1 − 2ln x ) .
Soit x un réel strictement positif, h′ ( x ) =
1

Or 1 − 2ln x = 0 ⇔ lnx =
1 − 2ln x < 0 ⇔ lnx > 1 2

1 2

⇔ x = e2 = e

;

1 − 2ln x > 0 ⇔ lnx <

1 2

⇔ x< e ;

⇔ x > e (la fonction ln étant strictement croissante sur

]0 ;

+ ∞[ ) .

-1C. Lainé

Par conséquent, la fonction h est croissante sur  0 ;   e ; + ∞ .  

e  et est décroissante sur 

b) Les points M et N ont pour coordonnées respectives ( x ; f ( x ) ) et ( x ; g ( x ) ) .

On en déduit que : MN =

la question 1). D’où : MN = f ( x ) − g ( x ) = h ( x ) .