Équation de vibrations d’une poutre
On veut étudier les vibrations en tension-compression d'une poutre homogène de longueur L , de section uniforme , de masse spécifique r, de masse M et de module de Young E, l'une des extrémités étant encastrée, l'autre étant libre.
La poutre est virtuellement divisée en n tranches de même longueur. On considère que les efforts sur chaque tranche sont assimilables a ceux qui seraient exercés par des ressorts. On cherche donc les modes propres de vibration du système constitue par n ressorts et on obtient ceux de la poutre en passant a la limite quand n tend vers l'infini.
Les équations du système des n ressorts et des n masses sont, pour n ≥ 2 :

Pour n = 1, le système est décrit par une seule équation :

1:
Définir une fonction eq qui a la variable i = 1, ... , n associe Ie premier membre de la i-ème équation, le second membre étant nul. écriture des équations des oscilateurs couplés, en dehors des bords restart; v2 eq d i/m$ 2 y i Kk$ y i C1 Ky i Ck$ y i Ky iK ;
1
vt
'eq i '= eq i ; écriture des équations des oscilateurs des deux bords v2 eq 1 d m$ 2 y 1 Kk$ y 2 Ky 1 Ck$y 1 : vt 'eq 1 '= eq 1 ;

eq n d m$

v2
2

vt
'eq n '= eq n ;

y n Ck$ y n Ky n K1

:

2: On cherche les modes propres de vibration du système, c'est-a-dire les réels positifs ω tels que le système d'équations ait une solution de la forme

ou x1, ... , xn sont réels.
Définir ainsi yp en fonction de p.
2

On pose s = ω m/ k. Recalculer la fonction eq qui représente les équations, compte tenu de ces définitions, en la notant Eq.
Définition des fonctions de base y d i/x i $exp I$ω$t ; eq i ; v2 eq 1 d m$ 2 y 1 Kk$ y 2 Ky 1 Ck$y 1 : eq 1 ; vt v2 eq n d m$ 2 y n Ck$ y n Ky n K1 : eq n ; vt Equations caractéristiques d'un sytème d'oscilateurs couplés s$k seqsubs d exp I$ω$t = 1, m = 2 , k = 1; ω Eq d i/subs seqsubs, value eq i ;
3:
On voit qu'on obtient un système linéaire de la forme G X = 0, où G
est