Les Suites
I. G´n´ralit´s sur les suites e e e
Dans tout le cours, on consid`re des suites (un )d´finies sur N les entiers naturels. e e

1. Suites croissantes, suites d´croissantes e D´finitions e
Une suite (un ) est croissante si pour tout entier n, un un+1 . Une suite (un ) est d´croissante si pour tout entier n, un un+1 . e Remarques : ­ Une suite croissante, une suite d´croissante sont dites monotones. e ­ Il existe des suites ni croissantes, ni d´croissantes. e Exemple : La suite (un ) d´finie par un = (-1)n est une suite ni croissante, ni d´croissante. e e M´thode : e Pour ´tudier le sens de variation d’une suite (un ), on ´tudie le signe de la diff´rence un+1 - un . e e e un 1 et 1. Si tous les un sont strictement positifs, on compare un Exemple 1 : Soit la suite (un ) d´finie pour tout entier naturel n par : un e ´ Etudier le sens de variation de la suite (un ). 2n 3 . n 2

Pour ´tudier le sens de variation de la suite (un ), on ´tudie le signe de la diff´rence un+1 - un . e e e 2Ôn 1Õ 3 2n 3 un 1 ¡ un Ôn 1Õ 2 ¡ n 2 2n 5 2n 3 ¡ n 2 n 3 Ô2n 5ÕÔn 2Õ ¡ Ô2n 3ÕÔn 3Õ Ôn 3ÕÔn 2Õ 2n2 4n 5n 10 ¡ 2n2 ¡ 6n ¡ 3n ¡ 9 Ôn 3ÕÔn 2Õ 1 Ôn 3ÕÔn 2Õ Et, pour tout entier naturel n, n + 3 0 et n + 2 0. 1 Donc : pour tout entier naturel n, Ôn 3ÕÔn 2Õ 0 D’o` : pour tout entier naturel n, un+1 - un 0, soit un+1 un . u La suite (un ) est croissante. Exemple 2 : Soit la suite (un ) d´finie pour tout entier naturel n par : un e ´ Etudier le sens de variation de la suite (un ). 3n 5n

Tous les termes de la suite (un ) sont strictement positifs. Pour ´tudier le sens de variation de la suite (un ), e un 1 et 1. on compare un n 1 3 n un 1 3n 1 5n 1 ¢ 5n 3 n 3 un 5n 1 3 5 5n 3 Or, 1, donc la suite (un ) est strictement d´croissante. e 5

Fiche issue de http://www.ilemaths.net

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Th´or`me e e
Soit (un ) une suite d´finie par un = f (n), avec f d´finie sur [0 ; + [ e e Si f est strictement croissante, alors (un ) est strictement