Exercice 6 du TD 6. Méthode de réduction de Gauss.
Cas 1 :Lorsqu’on a un x2 i dans l’expression de q :
Exemple : q(x1, x2, x3) = 2x2
1 + x2
2 + x1x2 − x1x3
On s’occupe par exemple de x2
1
On factorise les termes où x1 apparaît par le coefficient devant x2
1 c’est-à-dire 2 et on recopie le reste de l’expression sans la toucher : q(x1, x2, x3) = 2(x2
1 + 1
2x1x2 −
1
2x1x3) + x2
2
On factorise par x1 les termes où x1 apparaît : q(x1, x2, x3) = 2
(
x2
1 + x1
[
1
2x2 −
1
2x3
])
+ x2
2 (1)
On considère la parenthèse
(
x2 …afficher plus de contenu…

On calcule l’autre partie de l’expression :( x2 1 + x1
[
1
2x2 −
1
2x3
])
=
(
x1 +
[
1
4x2 −
1
4x3
])2
−
(
1
4x
2
2 −
1
8x2x3 + 1
16x
2
3
)
On réinsère le tout dans (1) : q(x1, x2, x3) = 2
[(
x1 +
[
1
4x2 −
1
4x3
])2
−
(
1
4x
2
2 −
1
8x2x3 + 1
16x
2
3
)]
+ x2
2
On regroupe les termes (en ne touchant pas à la parenthèse avec x1) : q(x1, x2, x3) = 2
(
x1 +
[
1
4x2 −
1
4x3
])2
− 2
(
1
4x …afficher plus de contenu…

S’il reste un xixj avec i 6= j, on applique alors le cas 2 ci-dessous ; sinon, la méthode est finie.
Cas 2 :Lorsqu’on n’a aucun x2 i dans l’expression de q mais qu’on a un xixj avec i 6= js :
Exemple : q(x1, x2, x3) = 3x1x2 − 8x1x3 + 5x2x3
On s’occupe par exemple de x1x2.
On écrit q sous la forme : q(x1, x2, x3) = ax1x2+x1×(expression sans x1)+x2×(expression sans x2)+(expression à la fois sans x1 et sans x2)
C’est-à-dire