Important >

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Exercice 1 (2 points)

Déterminer l’ensemble des diviseurs dans

communs à 1925 et à 1617.

Exercice 2 (4 points)
Montrer que pour tous x, y de {0 ; 1 ; ... ; 9}, xy + yx est divisible par 11. a) Ecrire en base 10, 13 5 + 31 5 , 1E 16 + E1 16 . b) Montrer que ces nombres sont divisibles par, respectivement, 11 5 et 11 16 . Soient x et y tels que xy 16 + yx 16 ait un sens. Montrer que xy 16 + yx 16 est divisible par 11 16 .

Exercice 3 (3 points)
Soit b un entier naturel supérieur ou égal à 7. Exprimer 1221 b et 611 ( 2b ) en fonction de b. Déterminer les entiers b tels que : 1221 b = 611 ( 2b ) .

Exercice 4 (5 points)
Les deux questions sont indépendantes. a) Ecrire 2006 en base 2. b) Ecrire 2006 comme une somme de puissance de 2. On dispose d’une balance de Roberval (voir le dessin) et des poids de 1g, 3g, 9g, 27g, 81g et 243g. a) On a disposé sur un des plateaux un objet de poids x, on place alors des poids comme indiqué ci-dessous et la balance s’équilibre. Montrer que : 110101 3 = x + 101110 3 . En déduire x. b) Comment équilibrer la balance avec un objet de 56 g en utilisant des poids tous différents parmi les poids disponibles.
243g 81g 1g 9g 243g

xg 3g

9g

27g

Devoir 01-MA15-10

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Exercice 5 (3 points) (les deux questions sont indépendantes)
Décomposer 750 en produit de facteurs premiers et, à l’aide d’un arbre, déterminer les diviseurs dans Soient a et b deux entiers et n = × a) Quel est le nombre de diviseurs dans 2a 5b . de n en fonction de a et b. b) Montrer que n est le carré d’un entier si et seulement si il admet un nombre impair de diviseurs. de ce nombre.

Exercice 6 (3 points)
Vrai ou faux. Justifier. Si n est un entier naturel compris entre 1 et 7, alors si n est pair, n + 1 est premier. Si n est un entier naturel, alors si n est pair, n + 1 est premier. Il existe au moins un entier naturel n tel que si n est pair, n + 1 est premier. ■

N’oubliez pas d’envoyer la notice individuelle que vous